Vektor mit Winkel berechnen?

Wie rechne ich das?

Answer 1

[Rammstein53]

Es gilt:

cos(alpha) = (a * b) * 1/|a| * 1/|b|

a * b = -3*a (Skalarprodukt)

|a| = sqrt(1² + 0² + a²)

|b| = sqrt(0² + 0² + -3²) = 3

cos(45°) = 1/sqrt(2)

Dann hat man folgende Gleichung:

1/sqrt(2) = -3*a/sqrt(1 + a²) * 1/3

1/sqrt(2) = -a/sqrt(1 + a²)

Beide Seiten quadrieren:

1/2 = a²/(1 + a²)

1 + a² = 2a²

1 = a²

Daraus folgt : a = -1 oder +1. Wegen der Quadration fällt die positive Lösung weg. Nur a = -1 erfüllt die obige Gleichung.

Comments

[evtldocha]

... kleiner Fehler: Im Zähler muss das Skalarprodukt stehen. Das Kreuzprodukt ergibt wieder einen Vektor. Wenn Du mit dem Kreuzprodukt arbeitest wäre der sinus auf der anderen Seite. Hier dann Glück, weil 45°.

[Rammstein53]

@evtldocha

Danke, habe es korrigiert.

Answer 2

[evtldocha]

Mit

$\cos\left(\alpha\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

und das nach der gesuchten Koordinate auflösen.

Aufgabe b) $\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot0+0\cdot0+a_3\cdot\left(-3\right)=-3a_3$ $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2+a_3^2}=\sqrt{1+a_3^2}$ $|\vec{b}|\ =\ \sqrt{0^2+0^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{9}=3$

Damit $\cos\left(45°\right)=\frac{-3a_3}{3\cdot\sqrt{1+a_3^2}}=-\ \frac{a_3}{\sqrt{1+a_3^2}}\ =\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Jetzt noch nach a₃ auflösen.