Unendlich oft würfeln?
Würde man bei unendlich vielen Würfen zu 100 % irgendwann eine 6 würfeln, oder bestände auch die Möglichkeit, keine 6 zu würfeln, auch wenn die Wahrscheinlichkeit noch so gering sein sollte? Oder anders gefragt, ist die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln, gleich Null? Welche mathematische Begründung gibt es dazu?
Liebe Grüße
11 Antworten
Sei X_i eine diskrete Zufallsvariable, wobei P(X_i=1)=1/6 und P(X_i=0)=5/6 für alle i, X_i beschreibt dann, ob beim i. Wurf eine 6 gewürfelt wurde oder nicht.
Angenommen die X_i sind Stochastisch unabhängig, dann gilt:
P(X_i=0 für alle i)= lim (n -> unendlich) (5/6)^n
Der Grenzwert existiert und ist 0.
Mathematisch gesehen wirst du also irgendwann eine 6 Würfeln müssen, wenn du unendlich bift würfelst.
Jedoch Wirst du in der Realität halt nicht in der Lage sein, unendlich oft zu Würfeln.
Man kann außerdem noch folgendes Aussagen, was interessant sein könnte:
Sei nun A_n gleich dem Ereignis, dass X_n=1 gilt,
Somit ist P(A_n)=1/6 für alle n, außerdem sind die A_n Stochastisch unabhängig, da die X_n unabhängig sind.
Die Summe der P(A_n) von n=1 bis unendlich ist außerdem unendlich.
Somit lässt sich das Lemma von Borel Cantelli anwenden welche besagt, dass unter den Voraussetzungen die Wahrschlichkeit, dass die 6 unendlich oft gewürfelt wird, gleich 1 ist.
Es gibt in der Tat verschiedene Unendlichkeit abzählbare und überabzählbare. Beschäftige dich auch mal mit Hilberts hotel, da wird es auch deutlich.
Man müsste spezifizieren, was "unendlich oft würfeln" sein soll.
Wahrscheinlichkeitstheoretisch ist das ganz einfach: Die Wahrscheinlichkeit, nur die Zahlen 1 bis 5 gewürfelt zu haben, geht mit steigender Anzahl der Durchgänge gegen 0. Das heißt, wenn wir "unendlich oft würfeln" als einen Grenzwertprozess verstehen (der in der Realität natürlich nicht auftritt), ist die Wahrscheinlichkeit tatsächlich 0.
Etwas formaler: Beschreibt die Zufallsvariable X_n die Anzahl an 6ern nach n Würfen mit einem gewöhnlichen Würfel, dann ist:
Unendlich oft zu würfeln, lässt sich in der Realität aber nicht umsetzen. Deshalb ist die naive Aussage, dass die Wahrscheinlichkeit null ist, mit Vorsicht zu interpretieren.
Die 0 ist ein Grenzwert. Für kein n ist die Wahrscheinlichkeit tatsächlich null. Sie wird mit steigendem n nur immer kleiner und kommt der 0 beliebig nah.
So sollte man die Konvergenzaussage auch interpretieren: Die Wahrscheinlichkeit fällt mit wachsendem n unter alle positiven Schranken, aber für kein n ist das Ereignis, in n Würfen keine 6 zu würfeln, unmöglich. Es wird nur mit wachsendem n immer unwahrscheinlicher.
Die warscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln ist 1- (5/6)^n bei n Versuchen.
Die warscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln, ist nicht 0 für n Versuche, konvergiert aber gegen Null. Damit konvergiert die Warscheinlichkeit für mindestens eine 6 gegen 1 für unendlich viele Versuche.
Lim (1-(5/6)^n) mit n gegen unendlich=1
Das ist dasselbe wie mit der
0,periode9. Das ist tatsächlich dasselbe wie 1,weil nur ein unendlich kleiner positiver Wert fehlt, um 1 zu erreichen. Unendlich klein geht Gegen 0.
Da merkt man, wie schwer es ist, mit unendlichkeiten zu rechnen, denn für die würfelzahl 5 beispielsweise gilt dasselbe.
Nein!
Tatsächlich hat die 6 immer die gleiche Chance gewürfelt zu werden: 1/6. Der Würfel hat kein Gedächtnis, er weiß nicht, dass die 6 längst überfällig wäre.
Allerdings kann man aber vorhersagen, wie wahrscheinlich das Ergebnis ist keine 6 zu würfeln wenn man unendlich viele Würfelversuche berücksichtigt. Das ist dermaßen unwahrscheinlich, dass wir praktisch eine 0,0 Periode erhalten - viele Mathematiker behaupten, das wäre das gleich wie 0...
Wie bei 1 durch unendlich. 1 durch irgendwas kann eigentlich nie nichts sein, aber wenn es um unendlich geht, ist es praktisch gleich 0.
Die Chance ist immer 1/6 pro Wurf. Wenn wir unendlich oft werfen gibt es eine geringe Chance auch unendlich oft die 5/6 die für 1-5 steht zu erwischen . Logisch gesehen wäre es vermutlich unmöglich keine 6 zu bekommen. Würde man aber immer davon ausgehen das keine 6 geworden wird weil man wissen will ob einzig und allein die anderen 5/6 geworden werden so ist die Antwort ja. Kann sein das niemals der Zufall von 1/6 das dar 6 entspricht eintritt.
Die Wahrscheinlichkeit ist aber 1/6 gegen unendlich..bei unendlichen würfen ist also mit hoher Wahrscheinlichkeit auch ein unwahrscheinlicher Wurf. Dabei. Muss aber nicht . Somit ist es nicht zu 100% so
Aber kann es denn dann in einer Unendlichkeit überhaupt unterschiedliche Unendlichkeiten geben? Aber danke dir für deine Mühe. :)