Pi Formel?
Hi,
ich suche eine Formel für Pi die ungefähr so aussieht:
Zufälligezahl (Formel) = Pi
Wichtig ist, das nur +-*/ besteht und 8 Klässler verständlich ;D
5 Antworten
Pi ist transzendent und lässt sich daher nicht "geschlossen" exakt darstellen.
Als verhältnismäßig "einfache" Näherung gibt es zum einen das wallis'sche Produkt ...
2 * 2 * (2 / 3) * (4 / 3) * (4 / 5) * (6 / 5) * (6 / 7) * (8 / 7) * (8 / 9)
... zum anderen die Leibnitz-Reihe ...
4 * (1 - (1 / 3) + (1 / 5) - (1 / 7) + (1 / 9))
... und die Nilakantha-Reihe:
3 + (1 / 6) - (1 / 30) + (1 / 84) - (1 / 180)
Ansonsten sind 22 / 7, 333 / 106 oder 355 / 113 gute Näherungen.
Ist diese Reihe weiterführbar?
Ja.
Aber nicht so, wie Du es angibst. Ich weiß leider nicht, wie Du auf 1 / 12 und 12 / 13 kommst.
Die "richtige" Fortsetzung wäre: 4 * (1 - (1 / 3) + (1 / 5) - (1 / 7) + (1 / 9) - (1 / 11) + (1 / 13) - (1 / 15) + (1 / 17) - (1 / 19) + (1 / 21) - (1 / 23) + ...)
Oder "vollständig", in Reihenschreibweise: http://latex2png.com/output/latex\_4cb128a5281aeed9d9ab121dbfdee1d5.png
Sollte der Link nicht funktionieren, die Reihe sieht in LaTeX-Schreibweise wie folgt aus.
\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\left( -1 \right)^{k}}{2 \cdot k + 1}
Es gibt nicht nur 1, sondern hunderte:
http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
Lasse Dich nicht von Zeichen wie Σ abschrecken: das sind nur Summen (Addition bedeutet + )
nur dass man die Abbruchbedingung selbst festlegen muss, da diese irrationale Konstante unendlich viele Nachkommastellen hat!
Bei vielen Formeln ist ein LINK zum Iterationsrechner daneben, mit dem man das online nachrechnen kann.
zwar ist Pi = 4*atan(1)= 4* {1-1/3+1/5-1/7...
https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe
ABER diese konvergiert sehr langsam, d.h. man braucht sehr viel Summanden um nur wenig richtige Nachkommastellen zu bekommen.
Viel schneller ist §7a, wo nur 190 Summanden schon 235 richtige Stellen ergeben (Bruch dort zu finden).
Die schnellste Konvergenz hat §4e, aber dort muss man die 4. Wurzel ausrechnen, was bei vielen Nachkommastellen auch kompliziert wird...
Geht's immer noch um dein Batch-Pi-Programm?
Du könntest dir 100 Zufallszahlenpaare x und y generieren und für jedes Paar prüfen, ob x^2 + y^2 <= 1 ist. Wenn du davon z.B. 100 Durchläufe machst und davon 78 die Bedingung erfüllen, dann kannst du daraus auch schlussfolgern, dass 78/100 ungefähr pi/4 entspricht. Je mehr Durchläufe du machst, umso besser wird das Ergebnis. Das nennt sich "Monte-Carlo-Simulation".
Eine andere Idee wäre von hier die zweite Formel
, also 1 - (1 / 3) + (1 / 5) - (1 / 7) + (1 / 9) - (1/11) + ... = pi/4
Da Pi eine irrationale Zahl ist und dementsprechend unendlich viele Nachkommastellen hat, wirst du keine endgültige Formel finden, mit der man Pi berechnen kann, sondern immer nur Annäherungen und Folgen bekommen.
Es gibt viele Möglichkeiten, π als Reihe oder Grenzwert einer Iteration darzustellen, darunter auch ein paar ohne Wurzeln. Obwohl man auch die Wurzeln ihrerseits durch Reihen / Iterationen darstellen kann.
Ob eine hiervon für Achtklässler verständlich ist, hängt davon ab, was man unter "verständlich" versteht ...
Die Leibniz-Reihe ist schon erwähnt worden.
Unter den Treffern von
https://www.google.de/search?q=pi+reihendarstellung+schnell+konvergierend&btnG=Suche
befindet sich u. a.
http://www.cwscholz.net/projects/fba/
Kettenbrüche kann man übrigens als Möbius-Transformationen auffassen und kann dadurch sehr schnell die nächste Zahl der Kettenbruchentwicklung hinzunehmen. (Matrizen von rechts an den Vektor der letzten beiden Ergebnisse heranmultiplizieren)
= 3+ 4*( 1/(3*3*3-3) -1/(5*5*5-5) +1/(7*7*7-7) - 1/(9*9*9-9) +1/(...) -1/(...) )
4 * (1 - (1 / 3) + (1 / 5) - (1 / 7) + (1 / 9))
Ist diese Reihe weiterführbar?
4 * (1 - (1 / 3) + (1 / 5) - (1 / 7) + (1 / 9) - (1/12) + (12/13) ...)