Kann mir jemand erklären warum Pi unendlich Nachkommastellen hat. Am besten so, dass ein 9 Klässler es einigermaßen verstehen kann?

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6 Antworten

Was Du meinst, nennt man Irrationalität:

https://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl

"nicht als Verhältnis 2er ganzer Zahlen darstellbar"

Indirekt ist es der Beweis dafür, dass es keinen absolut perfekten runden Körper geben kann:

- es gibt nur 10^80 Atome im Weltall -> also nur n-Ecke

- es gibt eine "kürzeste Strecke" = Plancksche Länge

In der theoretischen Mathematik gibt es aber Möglichkeiten, irrationale Zahlen wie Pi zu berechnen:

http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm

zeigt über 100 Algorithmen (Rechenvorschriften) wie man das macht:

Integrale, Summen, Kettenbrüche, Iterationen, Grenzwerte, höhere Funktionen (Integralfunktionen; hypergeometrische Funktionen)

ALLE haben eine Gemeinsamkeit: sie enden NIE -> der Berechner muss zwingend eine Abbruchbedingung angeben, bei wie viel Nachkommastellen (oder Berechnungszeit) aufgehört werden soll!

 Man kann sogar grob berechnen, wieviele Nachkommastellen man braucht, um alle n-stelligen Kombinationen bis dorthin garantiert zu finden:

http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm

(alle 8stelligen Geburtstage sind in den ersten 
1816743912 Stellen garantiert zu finden)

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Du meinst unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht wiederholen.
Schon die Zahl ⅓ hat nämlich im Dezimalsystem unendlich viele Nachkommastellen, was Du schon durch schriftliches Dividieren leicht herausbekommst.
Die Zahl π ist allerdings irrational, d.h. sie lässt sich nicht als Bruch zweier Natürlicher Zahlen ausdrücken. Hätte sie endlich viele Stellen, so könnte man das, man müsste nur mit dem Kehrwert der Zehnerpotenz der letzten Nachkommastelle erweitern. Damit meine ich Folgendes:
Auf einem handelsüblichen TR mit 10 angezeigten Stellen wird 3,141592654 angegeben. Die letzte Nachkommastelle ist die 9., die 4 (sie ist aufgerundet) steht für 4×10^{-9}. Also müsste man mit 10^{+9} erweitern und käme auf 3 141 592 654 Milliardstel. Das ist aber eben nicht π, wenngleich eine ziemlich gute Näherung.
Ich habe leider nicht den Beweis parat, dass π irrational ist, er ist zweifellos komplizierter als der Beweis dafür, dass √2 es ist. Im Unterschied zu √2 ist π aber auch transzendent, d.h. sie lässt sich nicht als Lösung x einer Gleichung der Form
n_n•xⁿ + … + n₂x² + n₁x + n₀ = 0
mit Natürlichen Zahlen n_i, i = 1,2,…,n ausdrücken. Zum Vergleich:
x = √2 ist die Lösung für die Gleichung
x² – 2 = 0.
Deshalb klappt auch die sog. Quadratur des Kreises nicht.
Der Beweis dafür ist aber noch keine 200 Jahre alt, und schon das deutet an, dass er wohl ziemlich kompliziert sein dürfte. Mathematische Beweise haben schließlich schon die Alten Griechen vor rund 2500 Jahren geführt.

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Kommentar von BIackMan2612
08.04.2016, 14:24

Ich danke dir für diese aufschlussreiche Antwort :)

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pi ist die anzahl der male die der durchmesser in den umfang des kreises passt das sind etwa 3,14 mal da sich der umfang eines kreises allerdings nicht genau messen lässt kann man nur von einem vieleck mit endlos vielen ecken rechnen das dann einem kreis sehr nahe kommt und daher auch auf endlos viele nachkommerstellen pi berechnen aber es wird nie 100 prozent ein kreis ausgerechnet daher unendlich viele nachkommastellen. ich hoffe es war verständlich. liebe grüße 

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Kommentar von BIackMan2612
07.04.2016, 20:32

Vielen Dank für die Auskunft :)

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Die Zahl Pi ist das Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser. Nun ist es so, dass die meisten Verhältnisse, die man im einfachsten Fall durch einen Bruch ausdrücken kann bereits zu Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen führen. Ein Drittel von irgendetwas ist ja auch durch 0,33333333333333.. ausdrückbar und führt bereits zu unendlich vielen, wenn auch gleichen Nachkommastellen.

Andere Brüche wie z.B.

3/7 =0.42857142857142857142857142857143

führen zu Dezimalzahlen die immerhin eine Periode in ihrer Ziffernfolge haben und natürlich auch unendlich viele Nachkommastellen haben. Insofern sollte es zunächst einmal nicht überraschen, dass das Verhältnis von Umfang/Durchmesser auch unendlich viele Nachkommastellen hat.

Das wirklich besondere an der Zahl Pi ist, dass sie irrational ist. D.h. die Nachkommastellen haben überhaupt keine Periodizität, egal wie lange man rechnet. Die Nachkommastellen kommen wie Kraut und Rüben.

Auch hierfür gibt es einen Beweis. Aber das ist zuviel für die 9. Klasse.

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weil alle transzendent-irrationale Zahlen keine letzte Nachkommastelle haben. Hätten sie nämlich eine, dann wäre es eine abzählbare, rationale Zahl, wie z.B. 1, 200 oder 0,25. Ob das ein 9-Klässler allerdings schon versteht, wage ich zu bezweifeln. Ich selber habe mit diesem Kram so meine Probleme

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Es gibt einige Beweise, aber ob die ein 9.Klässer versteht...Es gibt für dich gerade wahrscheinlich keinen anderen Weg als es einfach hinzunehmen. Falls du dennoch ein Beweis sehen willst: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=17597

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Kommentar von BIackMan2612
07.04.2016, 21:14

Einfach hinnehmen ist doch keine Option die einzige Option ist verstehen, auch wenn es Zeit und Nerven kostet  :)

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