Warum ist Pi unendlich und dazu noch nicht-periodisch?

Wie kann das sein?? Wenn die Nachkommastellen unendlich lang sind, wie kann man denn garantieren, dass dabei keine Wiederholungen auftreten? Selbst wenn man alle Kombinationsformen ausschöpft, würde man doch irgendwann an eine Grenze geraten müssen...

Vielen Dank fürs Lesen (und ggf. Antworten)!

Answer 1

[Elsenzahn]

Wenn die Nachkommastellen unendlich lang sind, wie kann man denn garantieren, dass dabei keine Wiederholungen auftreten?

In der Mathematik verwendet man präzise Ausdrücke. und "periodisch" bedeuted nicht einfach irgendwelche "Wiederholungen".

"Periodisch" heißt:

Die Kommazal besteht ab irgendeiner Stelle (dies könnte auch direkt nach dem Komma sein) nur noch aus einer Aneinanderreihung ein und desselben Ziffernblocks (dieser könnte auch aus nur einer einzelnen Ziffer bestehen).

0,333333.... Die Periode beginnt direkt nach dem Komma, der Ziffenblock besteht aus nur einer Ziffer: der "3".

0,02712093756093756093756093756093756093756093756093756093756093756.... Die Periode beginnt nach der fünften Stelle, der sich wiederholende Ziffernblock ist "09375".

Aber:

0,101001000100001000001000000100000001... Da gibt es viele Wiederholungen. Aber eben keine Periode. Weil vor jeder 1 jeweils eine 0 mehr kommt entsteht keine Periode.

Und wie schon richtig geantwortet wurde: Die Irrationalität von pi wurde 1761 bewiesen, und irrationale Zahlen haben immer unendliche viele, nichtperiodische Nachkommastellen (->Mathe, Mittelstufe).

Man schließt von der Irrationalität auf die Ziffernfolge, nicht etwa umgekhert!

Answer 2

[hypergerd]

Die Eigenschaft, die Du beschreibst, nennt sich Irrationalität.

2 Beweise dazu findet man unter http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm

Dort gibt's auch LINKs zu:

- Datenbank interessanter Stellen bis 13,3 Bio. (steffenOREO's Info ist noch aus dem Jahre 2010); auf Anfrage suche ich Dir gern was Spezielles...

- unter http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm

findet man sogar eine Zahlenfolge, wie lange man suchen muss, um garantiert alle möglichen Ziffernkombinationen zu finden:

A036903(8)=1816743912

bedeutet, dass man nur bis zur Position 1816743912 speichern/suchen braucht, um garantiert alle 8-stelligen Geburtstage (egal welche Reihenfolge das Jahr oder die Tage) garantiert in Pi zu finden.

Das geht natürlich auch mit anderen irrationalen Zahlen.

Achtung: es gibt noch die Eigenschaft "Normalität". Diese beschreibt, dass garantiert alle Ziffern in allen Basendarstellungen mit allen Mustern bis in alle Ewigkeit vorkommen werden. Dieser exakte Beweis steht zwar noch aus, aber viele Wissenschaftler (Bailey und ich) sehen das bei Pi zu 99% als sicher an. 

zu "an Grenze Geraten": eben nicht: alle irrationalen Zahlen enthalten in den Berechnungs-Algorithmen die Abbruchbedingung UNENDLICH, also "ohne Ende" -> d.h. man wird nie fertig mit der Berechnung -> es kommen immer neue hinzu!

Mit den viel kürzeren BBP-Algorithmen kann man sofort einzelne HEX-Stellen berechnen (ohne die zig Bio. Stellen davor!), was man schon bis 5*10^14 getan hat -> immer schon irrational :-)