Warum ist Pi unendlich und dazu noch nicht-periodisch?
Wie kann das sein?? Wenn die Nachkommastellen unendlich lang sind, wie kann man denn garantieren, dass dabei keine Wiederholungen auftreten? Selbst wenn man alle Kombinationsformen ausschöpft, würde man doch irgendwann an eine Grenze geraten müssen...
Vielen Dank fürs Lesen (und ggf. Antworten)!
6 Antworten
Wenn die Nachkommastellen unendlich lang sind, wie kann man denn garantieren, dass dabei keine Wiederholungen auftreten?
In der Mathematik verwendet man präzise Ausdrücke. und "periodisch" bedeuted nicht einfach irgendwelche "Wiederholungen".
"Periodisch" heißt:
Die Kommazal besteht ab irgendeiner Stelle (dies könnte auch direkt nach dem Komma sein) nur noch aus einer Aneinanderreihung ein und desselben Ziffernblocks (dieser könnte auch aus nur einer einzelnen Ziffer bestehen).
0,333333.... Die Periode beginnt direkt nach dem Komma, der Ziffenblock besteht aus nur einer Ziffer: der "3".
0,02712093756093756093756093756093756093756093756093756093756093756.... Die Periode beginnt nach der fünften Stelle, der sich wiederholende Ziffernblock ist "09375".
Aber:
0,101001000100001000001000000100000001... Da gibt es viele Wiederholungen. Aber eben keine Periode. Weil vor jeder 1 jeweils eine 0 mehr kommt entsteht keine Periode.
Und wie schon richtig geantwortet wurde: Die Irrationalität von pi wurde 1761 bewiesen, und irrationale Zahlen haben immer unendliche viele, nichtperiodische Nachkommastellen (->Mathe, Mittelstufe).
Man schließt von der Irrationalität auf die Ziffernfolge, nicht etwa umgekhert!
Die Eigenschaft, die Du beschreibst, nennt sich Irrationalität.
2 Beweise dazu findet man unter http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
Dort gibt's auch LINKs zu:
- Datenbank interessanter Stellen bis 13,3 Bio. (steffenOREO's Info ist noch aus dem Jahre 2010); auf Anfrage suche ich Dir gern was Spezielles...
- unter http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm
findet man sogar eine Zahlenfolge, wie lange man suchen muss, um garantiert alle möglichen Ziffernkombinationen zu finden:
A036903(8)=1816743912
bedeutet, dass man nur bis zur Position 1816743912 speichern/suchen braucht, um garantiert alle 8-stelligen Geburtstage (egal welche Reihenfolge das Jahr oder die Tage) garantiert in Pi zu finden.
Das geht natürlich auch mit anderen irrationalen Zahlen.
Achtung: es gibt noch die Eigenschaft "Normalität". Diese beschreibt, dass garantiert alle Ziffern in allen Basendarstellungen mit allen Mustern bis in alle Ewigkeit vorkommen werden. Dieser exakte Beweis steht zwar noch aus, aber viele Wissenschaftler (Bailey und ich) sehen das bei Pi zu 99% als sicher an.
zu "an Grenze Geraten": eben nicht: alle irrationalen Zahlen enthalten in den Berechnungs-Algorithmen die Abbruchbedingung UNENDLICH, also "ohne Ende" -> d.h. man wird nie fertig mit der Berechnung -> es kommen immer neue hinzu!
Mit den viel kürzeren BBP-Algorithmen kann man sofort einzelne HEX-Stellen berechnen (ohne die zig Bio. Stellen davor!), was man schon bis 5*10^14 getan hat -> immer schon irrational :-)
Das ist längst hinreichend erforscht. Es haben sich schon eine Menge Leute die Mühe gemacht, das mittel modernster Computer zu berechner.
Ein japanischer Programmierer, der unter dem Nickname "JA0HXV" auftritt, will einen neuen Rekord bei der Berechnung der Kreiszahl Piaufgestellt haben. Seinen Angaben zufolge, sei es ihm gelungen, ihren Wert auf 10 Billionen Nachkommastellen genau berechnet zu haben.Hinter dem Pseudonym steckt Shigeru Kondo. Dieser hatte bereits den letzten Pi-Rekord aufgestellt: Vor etwas über einem Jahr konnte er als erster 5 Billionen Nachkommastellen berechnen. Bereits kurze Zeit später startete er seine Systeme erneut um noch weiter voranzukommen.
Mein Problem ist, dass sich m.E. die Behauptung, dass Pi unendlich sei,
mit der These widerspricht, dass Pi auf jeden Fall nicht periodisch sein soll...
0,101001000100001000001000000100000001 ... (jeweils vor der nächsten 1 eine 0 mehr)
Ein simples Beispiel für eine Kommazahl, die unendlich und nichtperiodisch ist. Ein anderes ist das hier:
0,123456789101112131415161718192021222324252627282930....
Pi ist nicht unendlich, sondern die Dezimalschreibweise von pi hat unendlich viele Nachkommastellen. Das "unendlich" betrifft die Schreibweise als Kommazahl. An pi slöebst ist garnichts unendlich.
Und ja, diese Nachkommastellen sind auch nicht-periodisch.
Und soweit ist da auch nichts unerforscht (andere offene Fragen gibt es aber schon!), und das hat auch nichts mit irgendwelchen Computerberechnungen zu tun.
Irrationale Zahlen haben als Kommazahl geschrieben immer unendlich viele, nicht-periodische Nachkommastellen. Das zu beweisen ist kinderleicht und wird deswegen in der Mittelstufe im Matheunterricht gemacht (gehört aber auch zu den Sachen, die die Schüler sofort wieder vergessen).
Die Herausforderung ist, nachzuweisen, dass pi irrational ist (irrational heißt "nicht gleich einem gewöhnlichen Bruch"). Der Beweis hierfür ist dem Mathematiker Lambert vor ca 250 Jahren gelungen. Dieser Beweis ist für die Schule aber zu schwer. Schau dir statt dessen mal den Beweis von Euklid für die Irration alität der Wurzel aus 2 an. Der ist hübsch einfach, den macht man auch in der Schule, und dann weißt du wenigstens, wie sowas im Prinzip geht. Und dass es mit Computern und Kommastellen genau garnichts zu tun hat.
Ob Pi unendlich ist bleibt offen, da Niemand das Beweisen kann. Es wird Wiederholungen geben. Schon bei 3,141 5926 535 8 979 323 84 626 4 33 832795 treten einige Wiederholungen auf. Ob aber eine Periode entsteht ist Fraglich. Es spielt auch keine Rolle. Man kann Pi immer so weit berechnen wie es Nötig ist.
Die Nachkommastellen von pi sind unendlich, weil pi irrational ist. Und dass pi irrational ist, das wurde vor 250 Jahren von dem Mathematiker Lambert bewiesen. Da ist nichts offen.
Bislang ist nicht einmal bekannt, ob nicht ab einer gewissen Stelle beispielsweise nur noch die Ziffern 5 und 6 auftreten.[32]
Delahaye: π die Story. 1999, S. 211, eingeschränkte Vorschau
Delahaye: π die Story. 1999, S. 211, eingeschränkte Vorschau
Soll das eine Antwort auf meinen Kommentar sein? Der bezog sich auf das, was du schriebst: "Ob Pi unendlich ist bleibt offen, da Niemand das Beweisen kann." - Und das ist falsch. Da ist nichts offen. Wenn du schon solche Bücher liest, dann tu es mit der nötigen Aufmerksamkeit. Denn dass die Irrationalität von pi vor ca 250 Jahren bewiesen wurde, das steht da garantiert auch drin.
Dass andere Fragen als "sind die Nachkommastellen unendlich oder nicht?" offern sind, war doch gar nicht Thema, mein Gott.
Du bist jedenfalls gleich mit einer falschen Behauptung eingestiegen, und die hab ich korrigiert. - Dass du dann ein Buch nennst, und die einfache Tatsache, dass die Irrationalität von pi schon lange bekannt ist, trotzdem nicht kennst, das ist eher peinlich für dich.
Ob Pi unendlich ist bleibt offen, da Niemand das Beweisen kann.
"Wir kommen nun zum Beweis der Irrationalität von π. Erst die Fortschritte der AnaIysis in 17. und 18. Jahrhundert ermöglichten diesen Beweis, der 1761 von dem Schweizer Mathematiker Johann Heinrich Lambert 1728-1777 gefunden wurde ..."
(Delahaye: π die Story., 1999, S. 184)
Ich habe in dem von dir genannten Buch nachgeschlagen. Mit dem Beweis von Lambert, das steht duchaus drin, wie obiges Zitat zeigt. Du hast das Buch gar nicht gelesen, LOL.
Der ziemlich schwierige Beweis von Lambert ist auf den darauf folgenden Seiten sogar abgedruckt.
Ok danke...
Wobei ich mich immer noch frage, wie man dann behaupten kann, dass Pi
nicht-periodisch ist.
Mein Problem ist, dass sich m.E. die Behauptung, dass Pi unendlich sei, mit der These widerspricht, dass Pi auf jeden Fall nicht periodisch sein soll...