Frage von Ucanaskme, 103

Wie stellt man die Formel: O=Pi * r ^2 + Pi *r * s nach r um?

Oberfläche eines Kegels= Pi mal r zum Quadrat plus Pi mal r mal s Umstellung nach r mit einer quadratischen Ergänzung gesucht. Kann die quadratische Ergänzung noch einmal erklärt werden?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 45

Erst einmal kannst du Pi ausklammern und beide Seiten durch Pi teilen:

O / Pi = r^2 + r * s

Jetzt suchst du die quadratische Ergänzung zur rechten Seite.

Nach der ersten binomischen Formel ist

(a + b)^2 = a^2 + 2 * a * b + b^2

Wir versuchen, den Term

r^2 + r * s

auf die Form

a^2 + 2 * a * b + b^2

aus der binomischen Formel zu bringen.

Das r^2 ist klar - hier haben wir schon ein a^2.

Jetzt brauchen wir noch das b:

im Term mit r ist noch der Summand

r * s

"übrig", und in der binomischen Formel haben wir folgenden Summanden mit r (das ja das a aus der binomischen Formel ist - r = a):

2 * a * b = 2 * r * b

Diese beiden Terme sollen gleich sein:

r * s = 2 * r * b

Weil wir b suchen, lösen wir nach b auf:

b = s/2

In der umgeformten Originalgleichung haben wir jetzt

O / Pi = r^2 + 2 * r * s/2

In der binomischen Formel haben wir

(r + s/2)^2 = r^2 + 2 * r * s/2 + (s/2)^2

Die rechten Seiten unterscheiden sich um den Summanden

+ (s/2)^2

also müssen wir in der zu lösenden Gleichung diesen Term auf beiden Seiten addieren, um rechts den gleichen Term wie in der binomischen Formel zu haben:

O / Pi + (s/2)^2 = r^2 + 2 * r * s/2 + (s/2)^2

Jetzt können wir auf der rechten Seite die binomische Formel von rückwärts anwenden:

O / Pi + (s/2)^2 = (r + s/2)^2

Jetzt fehlt noch Wurzelziehen und ein paar Kleinigkeiten. (Berücksichtige auch, dass das Quadrieren zwei Umkehrungen hat und du möglicherweise zwei Lösungen bekommst - sind beide Lösungen sinnvoll?)

Kommentar von Ucanaskme ,

Hilfreichste Antwort zu der Frage! (Zumindest bisher)Beste Erklärung, Ausdruck, Formalität und Lösung! Danke!

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 30

Eine quadratische Ergänzung bedeutet, die drei Terme einer binomischen Regel zu vervollständigen, falls einer fehlt.

a² ± 2ab + b² = (a + b)²

Meistens (z.B. bei der Scheitelpunktberechnung einer quadratischen Parabel) fehlt b². Das sieht in praxi so aus (wobei ich jetzt die q.E. ganz allgemein beschreibe):

x² + 18x  = c         c ist irgendwas. 
                            Wenn du es mit der Formel vergleichst, ist a = x.
                            Das heißt, mit x ist dieser Teil in 18x schon abgedeckt.
                            18 ist dann 2b. So kommt es zu dem Spruch:
                            Halbieren, Quadrieren!
                            Du halbierst die 18 und quadrierst sie für den 3. Term
                            Damit links und rechts im Gleichgewicht bleibt, musst du
                            denselben Wert (anders geschrieben) rechts addieren.
x² + 18 x + 9² = c + 81
(x + 9)²          = c + 81          Anwendung der 1. Binom. Regel (rückwärts)

Das ist quadratische Ergänzung.
Analog, wenn das Mittelglied negativ ist. b² ist aber immer positiv!

Kommentar von Ucanaskme ,

Logischerweise, da, wenn eine rationale Zahl quadriert wird, die Vorzeichen positiv ergeben müssen. Danke ebenfalls für die Antwort! Altes Wissen wieder aufgefrischt...

Antwort
von poseidon42, 27

O = pi*r² + pi*s*r   II - O

0 = pi*r² + pi*s*r - O II *1/pi

0 = r² + s*r - O/pi II pq-Formel

r (1|2) = -0.5*s  +/-  (s²/4 + O/pi)^(1/2)   II (...)^(1/2) = Quadratwurzel

Also hast du damit 2 mögliche Lösungen:

r(1) = - s/2  +  (s²/4 + O/pi)^(1/2)

r(2) = - s/2  -  (s²/4 + O/pi)^(1/2)

Stell dir die Oberfläche einfach als eine Funktion in Abhängigkeit von r vor, und einem Parameter s. Also:

O(r) = pi*r² + pi*r*s 

f(x) = ax² + bx 

Nur mal so als visueller Vergleich.

Kommentar von poseidon42 ,

Quadratische Ergänzung:

d = ax² + bx + c  II -d

0 = ax² + bx + (c - d) II a Ausklammern

0 = a*(x² + x*b/a + (c-d)/a)

Nebenrechnung:

(a+b)² = a² + 2ab + b² 

(x + b/(2a))² = x² + 2*(x*(b/(2a)) + b²/(4*a²)

= x² + xb/a  + b²/(4*a²)

Das setzen wir nun in unsere Gleichung ein, aber man vergleiche zuvor noch einmal:

x² + xb/a  + b²/(4*a²)  != x² + x*b/a   II != "Ungleich

Auf der linken Seite ist das "+ b²/(4*a²) " zu viel, daher müssen wir dies auf der linken Seite wieder subtrahieren, dann ersetzen wir zuvor aber noch den Ausdruck  x² + xb/a  + b²/(4*a²)  durch den äquivalenten (gleichwertigen) Ausdruck (x + b/2a)² und erhalten damit also:

(x + b/2a)² -  b²/(4*a²) =  x² + x*b/a

Und das können wir dann nun ja in unsere Ausgangsgleichung einsetzen und erhalten dann ja:

0 = a*(x² + x*b/a + (c-d)/a)  II (x + b/2a)² -  b²/(4*a²) =  x² + x*b/a

Also:

0 = a*((x + b/2a)² -  b²/(4*a²) + (c-d)/a) 

Jetzt multiplizieren wir dies nun wieder aus und erhalten:

0 = a(x + b/2a)² -  b²/(4*a) + (c-d)

Dabei ist "-  b²/(4*a) + (c-d)" ein von x (der Variable) unabhängiger Ausdruck, wir wollen ja nach x auflösen, daher folgen nun Schritte um das x "alleine" auf einer Seite stehen zu haben:

0 = a(x + b/2a)² -  b²/(4*a) + (c-d) II -(- b²/(4*a) + (c-d))

b²/(4*a) - (c-d) = a(x + b/2a)²  II (c-d) = 4a*(c-d)/(4a)

(b² -4a*(c-d))/(4a) = a(x + b/2a)²   II *1/a

(b² -4a*(c-d))/(4a²) = (x + b/2a)²   II (...)^(1/2) = Quadratwurzel

[(b² -4a*(c-d))/(4a²)]^(1/2) = x + b/(2a)  

([b² -4a*(c-d)]^(1/2)) /(2a) = x + b/(2a)   II -b/(2a)

([b² -4a*(c-d)]^(1/2) -b) /(2a) = x(1|2)

Und damit hättest du eine Formel zur Berechnung einer Lösung für Gleichungen der Form:

 d = ax² + bx + c

Heißt also einfach die Werte einsetzten für a,b,c,d und du erhälst das Ergebnis. Du hättest übrigens an der Stelle:

0 = ax² + bx + (c - d) II a Ausklammern

Du hättest auch einfach anstatt das a Auszuklammern, durch a dividieren können, dann kommst du direkt auf die pq-Formel, wobei du bei der pq-Formel halt immer darauf achten musst, dass vor dem x² eine 1 steht   ( 1*x² = x²  !!!!), dann wäre das nämlich wie folgt gegangen:

0 = ax² + bx + (c - d) II *1/a

0 = x² bx/a + (c-d)/a 

Dann machst du exakt das gleiche wie oben und erhälst:

0 = (x + b/2a)² -  b²/(4*a²) + (c-d)/a  

Jetzt sagen wir du hättest (c-d)/a  ausgerechnet, genauso wie b/a, so sagen wir soll gelten:

(c-d)/a = q  und   b/a = p 

Daraus folgt also:

0 = (x+p/2)² - p²/4 +q  

Jetzt wieder nach x Umformen, so dass es alleine auf einer Seite steht:

0 = (x+p/2)² - p²/4 +q  II - (- p²/4 +q )

p²/4 - q =  (x+p/2)²  II (...)^(1/2) = Quadratwurzel

((p/2)² - q)^(1/2) = x + p/2  II -p/2

-p/2 + ((p/2)² - q)^(1/2) = x 

Und damit hättest du die pq-Formel in der Form:

x(1|2) = -p/2 +/-  ( (p/2)² - q)^(1/2)

Die man auf Gleichungen der Form:

0 = x² + px + q 

anwenden kann. Dies bedeutet, sobald eine Gleichung von dieser Form abweicht, so muss diese so umgeformt werden, dass sie diese Form annimmt, wie zum Beispiel bei der allgemeinen quadratischen Gleichung:

0 = ax² + bx + c 

So muss wie auch zuvor in der Herleitung hier durch den Vorfaktor vor dem x², also dem a, geteilt werden. 

0 = ax² + bx + c   II *1/a

0 = x² + (b/a)*x + c/a 

In dieser Form kann dann die pq-Formel angewendet werden, hier gilt also für p und q:

p = (b/a)  und   q = c/a 

(Erkennt man durch einfaches vergleichen mit der Ausgangsgleichung:

0 = x² + px + q

0 = x² + (b/a)x + c/a

)

Es ist zwar ein wenig zu lang geworden aber ich sollte an dieser Stelle doch lieber noch einmal verdeutlichen, dass die eigentliche Quadratische Ergänzung nur folgender Schritt ist:

(x + b/2a)² -  b²/(4*a²) =  x² + x*b/a

Der aus obiger Begründung gilt. Der Rest wie die zuerst allgemein hergeleitete abc-Formel oder die pq-Formel sind Resultate daraus um quadratische Gleichungen auf einfache Art und Weise schnell lösen zu können.

Ich hoffe du konntest der etwas längeren Ausführung mehr oder weniger folgen.

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