Das Quadrat der Hälfte?
Was bedeutet das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten imbezug au die Quadratische Ergänzung?
4 Antworten
Ich mache dir mal ein Beispiel, in welchem deine Frage klar beantwortet wird. Dann verstehst du besser, was damit gemeint ist und was du machen musst! :)
Deswegen formen wir jetzt die Funktion f(x) = 2x² + 12x + 4 von der Normalform in die Scheitelpunktform um.
Die Funktion f siehst du auch im Bild nochmal! :)
● ● ● Schritt 1 ● ● ●
Du musst bei der quadratischen Ergänzung zuerst den Vorfaktor a ausklammern.
f(x) = 2x² + 12x + 4
f(x) = 2(x² + 6x) +4
Damit haben wir den Stauch- und Streckfaktor a (Vorfaktor), der in diesem Fall a=2 war, ausgeklammert. Die Zahl ohne x bleibt draußen!
● ● ● Schritt 2 ● ● ●
Jetzt kommt der 2. Schritt, in dem wir genau das machen müssen, was du meinst.
Du musst die Zahl mit der Variable x (nicht x²!) halbieren und diese Zahl anschließend quadrieren. Das war es aber noch nicht! Du musst im Anschluss die quadrierte Hälfte direkt wieder abziehen!
So würde das mit unserem Beispiel aussehen:
f(x) = 2(x² + 6x) +4
f(x) = 2(x² + 3² - 3²) + 4
Wie du sehen kannst wird dabei auch die Variable x "entfernt".
● ● ● Schritt 3 ● ● ●
Als nächstes musst du die hintere Zahl in der Klammer, also das, was du wieder abziehst, aus der Klammer (r)ausmultiplizieren:
f(x) = 2(x² + 3² - 3²) + 4
f(x) = 2(x² + 3²) + 2*(-9) + 4
Wichtig:
Auch wenn vor der 3² ein minus steht: Das Minus wird hier nicht mitquadriert! Das bedeutet, -3² = -9, nicht (-3)² = 9!
f(x) = 2(x² +3²) - 18 + 4
f(x) = 2(x² +3²) - 14
● ● ● Schritt 4 ● ● ●
Jetzt musst du aus dem Term in der Klammer (also x² + 3²) rückwärts die 1. oder 2. binmische Formel bilden. Die 3. binomische Formel ist bei der quadratischen Ergängzung nicht möglich!
Hier siehst du ganz klar, dass es sich um die 1. binomische Formel handelt, da wir ein plus in der Klammer haben. Dementsprechend sieht das ganze am Ende so aus:
f(x) = 2(x² +3²) - 14
►►► f(x) = 2(x+3)² - 14
Fertig!
Damit hast du die Funktion von der Normalform (NF) in die Scheitelpunktform (SPF) gebracht.
Der Scheitelpunkt wäre hier übrigens S(-3|-14)! :)
Alles, was ich jetzt aufgeschrieben habe, wird in diesem Video von TheSimpleMaths nochmal gut erklärt:
https://youtube.com/watch?v=WtADWqKt5UM
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Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
Bei Fragen oder Anmerkungen, einfach melden! ;)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Ist es grundsätzlich besser auf die Scheitelform umzuwandeln?
Die Frage ist, wofür besser?
Man kann grundsätzlich sagen, dass die Scheitelpunktform definitiv hilfreicher ist und du sie öfter brauchen wirst, um Aufgaben zu lösen.
Grund dafür ist zum einen, dass du den Scheitelpunkt direkt ablesen kannst. Dementsprechend auch die Verschiebung entlang der x-Achse, entlang der y-Achse und der Stauch- und Streckfaktor a bleibt ja auch vorhanden. Deswegen wirst du am Anfang, also solange ihr keinen GTR zur verfügung habt und das Thema noch neu für euch ist, oft in die SPF umformen müssen. Genauso kann ich aber sagen, dass du in ein paar Monaten schon längst vergessen hast wie das geht und das auch wahrscheinlich wie so einiges nicht mehr benötigen wirst.
Du hast eine Gleichung der Form x^2 + px + q = 0
Der Koeffizient ist die Zahl vor dem x, also p. Bei der quadratischen Ergänzung muss man den Koeffizienten (p) durch 2 teilen und das Ergebnis quadrieren: (p/2)^2
Quadrat--- hoch 2
=> hoch 2 von der Hälfte
(n/2)^2
Das Quadrat der Hälfte ist ein Viertel.
Vielen Dank für die ausführliche Beantwortung meiner Frage. Eine Frage habe ich aber noch. Ist es grundsätzlich besser auf die Scheitelform umzuwandeln?