Aufgabe a)
Wende hier das Maschenstromverfahren an. Wähle die Maschen wie folgt:
M1: U1 -> Z12 -> Z23 -> U3 -> U1 (Strom I1)
M2: U2 -> Z23 -> U3 -> -> U2 (Strom I2)
M3: Z13 -> Z23 -> Z12 -> Z13 (Strom I3)
Durch die spezielle Wahl von M1, M2 und M3 gilt, dass der Maschenstrom I1 hier mit dem Strom I1 = IL1 aus dem ESB übereinstimmt, sowie IL2 = I2. Via "Brute Force" erhalten wir aus den Maschen- und Knotengleichungen:
(i) I1 = (2*U13 - U23)/Z
(ii) I2 = (2*U23 - U13)/Z
mit Ukm = Uk - Um. Wobei Z12 = Z23 = Z13 = Z. Die fetten Größen sind komplexe Größen. Wir erhalten somit für |Z| = Z:
(i) --> Z = |(2*U13 - U23)|/I1 = 3*U1/I1 = 959.1 Ohm (iii)
Ferner können wir mit (i) und (ii) die entsprechenden Scheinleistung für die Zweige bestimmen, welche durch die Watt-Meter überwacht werden. Es gilt:
(iv) P1 = Re{ S1 } = Re{ U13*conj(I1) } = (1.5*R + 0.5*sqrt(3)*wL)*(U13^2)/Z²
(v) P2 = Re{ S2 } = Re{ U23*conj(I2) } = (1.5*R - 0.5*sqrt(3)*wL)*(U23^2)/Z²
wobei für die induktive Last Z = R + j*wL gilt. Durch geschickte Addition bzw. Subtraktion von (iv) und (v) voneinander erhalten wir:
(iv) + (v) ----> (vi) P1 + P2 = 3*R*(U23^2)/Z²
(iv) - (v) ----> (vii) P1 - P2 = sqrt(3)*wL*(U23^2)/Z²
Aus (vi), (vii) und (iii) können wir dann R und wL von Z berechnen. Es folgt:
(viii) R = (P1 + P2)*Z²/(3*U23^2)
(ix) wL = (P1 - P2)*Z²/(sqrt(3)*U23^2)
und zusätzlich gilt für das Verhältnis wL/R = tan(Phi) = sqrt(3)*(P1 - P2)/(P1 + P2).
Aufgabe b)
Die gesamte von der Last verbrauchte Scheinleistung folgt direkt aus Summe der Scheinleistungen der einzelnen Zweige zu
SLast = 3*(U12^2)/(R - jwL) = 3*(U12^2)*(R + jwL)/(R² + (wL)²)
Damit folgt die von der Last verbrauchte Scheinleistung zu
QLast = Im{ SLast } = 3*(U12^2)*wL/(R² + (wL)²)
Wähle als Kompensationselemente Kondensatoren, da diese Scheinleistung bereitsstellen (negative Scheinleistung verbrauchen). Die zugehörige Impedanz ist
Zc = 1/(jwC)
Die "verbrauchte" Blindleistung des Kompensators berechnet sich damit zu
Qc = (-3)*U1²*wC
Aus der geforderten Bedingung Qc + QLast = 0 erhalten wir damit durch Umformen
wC = QLast/(3*U1²)
Beachte, dass Pc = 0, da die Kondensatoren nur Blindleistung aufnehmen und damit
Sc = j*Qc
gilt.
Aufgabe c)
Wie in b) bereits erwähnt gilt Pc = 0. Damit folgt in der Leistungsbilanz
Pges = PLast + Pc = PLast (da Pc = 0 nach unserem Design in b))
Qges = Qc + QLast = 0 (da wir das in b) so designed haben)
Schließlich folgt für PLast hier:
PLast = 3*(U12^2)*R/Z²
Hiermit können wir die Außenleiterströme berechnen. Da lediglich Wirkleistung verbraucht wird (Qges = 0) müssen die Außenleiterströme jeweils die selbe Phasenlage wie die Leiterspannungen haben. Betragsmäßig folgt
Sges = 3*U1*IL1 = PLast
--> IL1 = PLast/(3*U1) = PLast/(sqrt(3)*U12)
Aufgrund der Symmetrie gilt IL1 = IL2 = IL3. Hinsichtlich der Phasenlage folgt entsprechend
arg(IL1) = arg(U1) = 0°
arg(IL2) = arg(U2) = -120°
arg(IL3) = arg(U3) = -240°
Aufgabe d)
Rechnerisch lassen sich die neuen Außenleiterströme direkt aus dem ESB bestimmen. Es folgt:
IL1' = U1/Zc + U12/Z
IL2' = U2/Zc + U23/Z + U21/Z
IL3' = U3/Zc + U32/Z