Der Kern einer Matrix A ist nicht trivial, wenn gilt:
L = { x aus IR^n | Ax = 0} =/= { 0 }
die Lösungsmenge der Gleichung Ax = 0 also Elemente ungleich 0 enthält. Dies bedeutet, dass die Zeilen und Spalten der Matrix A linear abhängig sind. Es gibt nun verschiedene Ansätze:
(i) Die Zeilen und Spalten einer Matrix A sind linear abhängig, wenn det(A) = 0
--> Bestimme damit also für welche Werte von lambda det(A) gleich 0 wird.
(ii) Bringe das Gleichungssystem [A | 0] mittels Zeilenumformungen auf obere Dreiecksgestalt. Der Kern ist dann nicht trivial, wenn mindestens einer der Einträge auf der Hauptdiagonalen gleich 0 wird.
--> Bestimme somit also die lambda für die dies der Fall ist.
(iii) Bestimme die Eingewerte von A in Abhängigkeit von lambda. Der Kern ist dann nicht trivial, wenn mindestens einer der Eigenwerte den Wert 0 annimmt.
(iv) Dekomposition der ursprünglichen Matrix A in ein Produkt von Matrizen B und C, sodass A = B*C gilt. Der Kern von A ist genau dann nicht trivial, wenn der Kern einer der Matrizen B oder C nicht trivial ist.
Es gibt sicherlich noch weitere Möglichkeiten, aber die obigen sollten dir erstmal genügend Ansätze liefern.