Herleitung der Formel der Mantelfläche vom Kegel?
Wie kommt man beim Kegel bei der Mantelberechnung von der Formel: M= s quadratpiefie/360° + r quadrat pie auf die Formel: M=rpies+r quadratpie??
4 Antworten
Herleitung : dA=U * ds mit U=2*pie * r=2*pie * y hier ist y=f(x) eingesetzt
dA=2*pie * y *ds nun Satz des Phytagoras c^2=a^2 +b^2
ergibt (ds)^2= (dx)^2 +(dy)^2 dividiert durch (dx)^2
(ds)^2/(dx)^2= 1 + (dy)^2/(dx)^2 mit dy/dx=y´=f´(x)
(ds)^2/(dx9^2= 1 + y`^2 nun Wurzel ziehen
ds/dx= Wurzel (1 + y´^2) ergibt ds=Wurzel(1+y´^2) * dx eingesetzt in dA=....
dA=2 *pie * y * Wurzel(1 +y´^2) * dx nun integriert
A=2*pie * Integral y * (1+y´^2)^0,5 * dx
Wir haben nun die Formel aus dem Mathe-Formelbuch hergeleitet.
Zur Mantelberechnung des Rotationskörpers um die x-Achse braucht man nur noch dessen Funktion y=f(x) und die Integrationsgrenzen xu und xo
(untere Grenze u, obere Grenze)
Siehe Mathe-Formelbuch Anwendung "Integralrechnung"
Mantelfläche von Rotationskörpern um die x-Achse
A= 2*pie * S y *(1+y´^2)^0,5*dx hier ist y=f(x) eine Funktion von x
S ist das Integralzeichen y´=f´(x) erste Ableitung der Funktion f(x)
(.....)^0,5 Wurzel aus den Klammerausdruck.
Bei einen Kegel ist y=f(x) = m * x eine Gerade. Die Kegelspitze liegt im Ursprung des x-y-Koordinatensystems.
y= m *x abgeleitet y´= m eingesetzt
A=2 *pie * S m *x * (1 + m^2)^0,5 * dx = 2 *pie * m * (1+m^2)^0,5 S x *dx
HINWEIS Konstanten können vor das Integralzeichen S gezogen werden.
x=h ist die Laufvariable h des Kegels (Höhe des Kegels)
Wenn Du den Kegel vom Grundkreis zur Spitze aufschneidest, bekommst Du einen Kreisauschnitt (https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissektor). Dessen Radius ist ist gleich der Mantellinie s des Kegels. Die Länge L des Kreisbogens ist gleich dem Umfang der Grundfläche des Kegels.
Der Umfang eines Kreises mit dem Radius s ist U = 2 * pi * s,
seine Fläche A = pi * s²
Die Fläche des Kreisauschnittes ist die Mantelfläche M des Kegels.
Es gilt:
Die Länge des Kreisbogens verhält sich zum Umfang des Kreises wie die Mantefläche des Kegels zur Fläche des Kreises:
L / U = M / A
Der Winkel des Kreisausschnittes φ verhält sich zu 360° wie die Kreisbogenlänge L zum Umfang U
φ / 360° = L / U = (2 * π * r) / (2 * π * s) = r / s
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Zu Deiner Frage:
M = s² * π * φ/360° + r² * π
wird mit φ / 360° = r / s
M = r * π * s + r² * π
Übrigens wird normalerweise mit M die Mantelfläche des Kegels,
und seine Gesamtoberfäche mit Ao (o als Index) bezeichnet.
Tut mir Leid, die Formeln, die du da oben hingeschrieben hast, krieg ich nicht auseinandergereimt.
Die Mantelfläche von einem Kegel ist M=r*pi*s. Das, was du beim zweiten Teil dazugeschrieben hast (r²*pi) ist die Formel für die Grundfläche. Beides zusammen ist die gesamte Oberfläche des Kegels.