Nullstellen dieser Funktion berechnen?

Hi,

es geht um folgende Funktion: $f\left(x\right)\ =\ e^{2x}+e^x-2$ Augenscheinlich nicht schwer, jedoch liegt die einzige Nullstelle bei x=0, aber wie komme ich darauf? Bei meiner Lösung kommt 0,231 raus, da ich e^3x mit dem ln vereinfache.

Hier nochmal meine Lösung zur Verdeutlichung:

$e^{2x}+e^x-2=0$ $e^{3x}=2$ $3x\ =\ \ln\left(2\right)$ $x\ =\ \frac{\ln\left(2\right)}{3}$ Ich muss wohl gerade irgendwo auf dem Schlauch stehen...

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.

Answer 1

[tunik123]

e^(2x) + e^x ist nicht e^(3x).

Substituiere e^x = z

z^2 + z - 2 = 0

Die pq-Formel liefert -2 und 1 als Lösungen. -2 geht nicht, weil z nicht kleiner als 0 werden kann.

Also bleibt z = 1, d.h. x = 0.

Comments

[anonym20948]

Ooooh jetzt ergibts Sinn! Vielen vielen Dank.

Answer 2

[FataMorgana2010]

Du kannst das nicht einfach so addieren, schau dir nochmal die Potenzgesetze an.

Du kannst hier substituieren und dann die pq-Formel benutzen. $y\ =\ e^x$ Dann bekommst du

$y^{2\ }+y\ -2\ =\ 0$

Das kannst du ausrechnen und hast die beiden Nullstellen

$y_1=1,\ y_2=-2$ Da e^x nicht negativ sein kann, kann nur die erste Nullstelle genommen werden, also

$e^x=1$ Und daraus folgt x = 0.

Answer 3

[ethan227]

Zuerst musst Du mal beachten, dass die Gleichung von

$e^{2x}\ +\ e^x\ =\ e^{3x}$ gar nicht stimmt. Um nach dem Wert von x zu lösen, muss man die Substitutionsmethode dafür nutzen. In diesem Fall wäre es :

$e^x\ =\ u\$ $u^2\ +\ u\ -\ 2\ =\ 0$ $\left(\ u\ -\ 1\right)\left(\ u\ +\ 2\right)\ =\ 0$ Das heißt :

$u\ =\ 1,\ u\ =\ -2\$ Trotzdem ist der Asymptote von exponentiellen Gleichungen u = 0, weswegen die Lösungen davon nicht weniger als 0 sein darf. Deswegen ist die einzige Lösung dazu u = 1.

Lass uns den Wert in eine Gleichung stellen, was

$e^x\ \ =\ 1\$ x = 0 ergibt.

Prüfung :

$e^{2\left(0\right)}\ +\ e^0\ -\ 2\ =\ 0$ $1\ +\ 1\ -\ 2\ =\ 0$ $0\ =\ 0\ -\ Stimmt$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik ist seit langem mein Lieblingsfach.🧮

Answer 4

[nobytree2]

$e^{2x}+e^x-2=\left(e^x\right)^2+\left(2\cdot\frac{1}{2}\right)e^x+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)-2$ $=\left(\left(e^x\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}-2=\left(e^x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}=0$ $\left(e^x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$ $e^x+\frac{1}{2}=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$

$e^x=-\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}\to\left(e^x=-2\ \wedge\ e^x>0\right)\ \vee\ e^x=1\ \to e^x=1$ $\ln\left(e^x\right)=x=\ln\left(1\right)=0\to x=0$

Test

$e^{2\cdot0}+e^0-2=e^0+e^0-2=1+1-2=0\ wahr$

Answer 5

[TheQ86]

$e^{2x}+e^x\ \ne\ e^{3x}$

Das ist dein Grundproblem.

Comments

[Wechselfreund]

Optimist?

[nobytree2]

Das Ausrufezeichen ist so nicht gut, es steht auch für Fakultät

[TheQ86]

@nobytree2

Stimmt. Der Editor gab nur kein korrektes Ungleich her :-D

Außerdem bin ich Informatiker ^^

[nobytree2]

@TheQ86

Ungleich ist \ne.

[TheQ86]

@nobytree2

Cool danke. Habs bearbeitet.