Wie kann ich den Normalenvektor berechnen?
Gesucht ist jeweils ein Vektor x, der sowohl zu Vektor a als auch zu Vektor b orthogonal ist.
Vektor a= ( 2,3,1) ; vektor b= (-2,3,3)
(ps: die Zahlen sollten eigentlich untereinander in einer großen Klammer stehen.)
4 Antworten
Da der Anzatz über das Skalarprodukt schon bekannt ist
2*x1 + 3*x2 + x3 = 0
-2*x1 + 3*x2 + 3*x3 = 0
und von Jangler13 richtig darauf hingewiesen wurde, dass wir eine Variable zu viel haben, können wir eine Variable beliebig wählen. x1 und x2 lassen wir lieber wie sie sind, da ihre Koeffizienten +/-2 und +3 das Additionsverfahren nahelegen.
Also wird x3 gesetzt. Auf 0 setzen bringt nichts, also könnte man x3 = 1 nehmen. Da ich nicht gern mit Brüchen rechne, nehme ich lieber 6, das lässt sich durch 2 und 3 teilen.
Also x3 = 6
2*x1 + 3*x2 = -6
-2*x1 + 3*x2 = -18
Addition ergibt: 6*x2 = -24, also x2 = -4
Subtraktion ergibt 4*x1 = 12, also x1 = 3
Ein möglicher Ergebnisvektor ist also (3, -4, 6).
Hinweis: Das Kreuzprodukt ist (6, -8, 12), also parallel. Das ist ein gutes Zeichen ;-)
Bzw. man schreibt die beiden Vektoren jeweils zweimal untereinander hin, streicht die oberste und die unterste Zeile durch und multipliziert jetzt kreuzweise. Von links nach rechts zählt + und von rechts nach links ist -. Leider lässt sich das hier nicht darstellen.
Eine Hilfsroutine, die in jeder Schule so akzeptiert wird.
@Lea12593
Nein, ihr müsst nur richtig rechnen. Wenn Schüler Routinen korrekt anwenden, die nicht im Schulstoff gelehrt werden, dann müssen Lehrer volle Punktzahl geben und dürfen keine Abstriche machen.
Also es gibt zwei Möglichkeiten:
1. Kreuzprodukt, falls ihr das schon hattet
2. Falls ihr das nicht hattet, musst du wohl ein lineares Gleichungssystem aufstellen.
Sei der Vektor (x1,x2,x3) orthogonal zu den beiden Vektoren
Dann muss folgendes gelten (Skalarprodukt):
2*x1+3*x2+x3=0
-2*x1+3*x2+3*x3=0
Das ist ein Gleichungssystem mit drei Variablen und zwei Gleichungen, es gibt also unendlich viele Lösungen dazu. Du musst eine beliebige finden
Also du kannst die erste Zeile zur zweiten addieren, dann hast du x1 eleminiert und es ist in Stufenform.
Jetzt kannst du mit Hilfe der neuen zweiten Zeile x2 in Abhängigkeit von x3 bestimmen.
Es reicht sogar jetzt schon aus, dass du x3=1 setzt. Und damit x2 und x1 bestimmst
Könnte ich die zweite auch mit der ersten subtrahieren?
Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) aus a und b steht senkrecht auf beiden.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Komponentenweise_Berechnung
Danke, den Ansatz habe ich genauso aber weiter komme ich immernoch nicht :(