Negative Exponenten warum Kehrwert?
Warum ist zum Beispiel 5^-4 = 1/5^4 ich weiß, dass die allgemeine Formel um einen negativen Exponenten zu einem positiven zu machen a^-n = 1/a^n ist, aber wir müssen wissen, warum das so ist. Dazu finde ich nur leider im Internet nichts... Also warum muss man da den Kehrwert nehmen?
3 Antworten
Das ist nicht in Wirklichkeit so. Die Mathematiker haben nur eine Schreibweise geschaffen, die in sich logisch ist, um Potenzen elegant darzustellen und Brüche zu vermeiden.
Eigentlich steckt nur eine Definition dahinter:
1/a = a^(-1)
Das ist durchaus vernünftig definiert, denn wenn du einerseits
1/a * a multiplizierst, erhältst du 1.
Und wenn du a^(-1) * a = a^(-1) * a^(1) = a^0 nach dem 1. Potenzgesetz rechnest, ergibt es auch 1.
Solche vernünftigen Definitionen zur Vereinfaching von Rechenoperationen gibt es viele. Sie fallen dir meist gar nicht mehr auf.
a + a + a = 3a
Das ist auch so eine vernünftige Definition, die du schon so lange kennst, dass es du es gar nicht mehr merkst.
Sehr unmathematisch ^^, aber sowas wird am Beispiel sehr deutlich:
2^3 = 2 * 2 * 2
2^2 = 2 * 2
2^1 = 2
2^0 = 1
2^(-1) = 1/2
2^(-2) = 1/4
Von einer Zeile zur nächsten wird immer durch 2 geteilt, während der Exponent dekrementiert wird.
Du kennst doch sicher das Potenzgesetz: a^n · a^m = a^(n+m)
also gilt:
a^n · a^(-n) = a^(n-n) = a^0
mit a^0 = 1 erhält man
a^n · a^(-n) = 1 |:(a^n)
a^(-n) = 1/(a^n)