Monotoniesatz - Heißt streng monoton auch, dass es sich immer ändert?

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4 Antworten

Nein, f(x) = x ist ebenso streng monoton steigend.

Wenn sich x um 1 ändert, ändert sich f(x) auch um 1, insofern steigt der Graph immerzu.

Ob sich die Steigung wie bei f(x) = e^x jederzeit ändert, ist unerheblich - wichtig ist, dass sich bei einer Vergrößerung des x-Wertes auch der y-Wert vergrößert.

Zusammenfassend kann man sagen, dass eine Änderung der Steigung für eine streng monoton steigende Funktion nicht erforderlich ist. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

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Kommentar von TechnikSpezi
31.07.2016, 13:54

wichtig ist, dass sich bei einer Vergrößerung des x-Wertes auch der y-Wert vergrößert.

Das meinte ich letztendlich ja damit! ;)

Vielen Dank!

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Ein linearer Graph ist auch streng monoton steigend (oder fallend, je nachdem, ob die Steigung positiv oder negativ ist).

Streng monoton steigend = der Graph steigt immer und sinkt nie und verläuft auch nie horizontal.

monoton steigend = der Graph steigt, kann aber auch mal horizontal verlaufen. Aber er sinkt nie.


Das bedeutet nicht, dass sich die Steigung ändern muss.


https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone\_reelle\_Funktion

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Kommentar von Willy1729
31.07.2016, 12:25

Hatte mich vertan, der Kommentar ließ sich nicht mehr löschen, nur ändern.

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Hallo,

die Steigung muß sich nicht ändern.

f(x)=2x ist streng monoton steigend, während die Steigung immer konstant bei 2 bleibt.

Streng monoton bedeutet, daß, wenn die x-Werte ansteigen, auch die y-Werte immer weiter ansteigen, bzw. immer weiter fallen, daß der Funktionsgraph also entweder ständig bergauf oder ständig bergab geht ohne einen waagerechten Abschnitt dazwischen.

Bei einer monotonen Funktion geht es zwar auf Dauer auch immer weiter bergauf oder immer weiter bergab, dazwischen kann es aber auch Abschnitte geben, in denen der Funktionsgraph parallel zur x-Achse verläuft.

Weder bei monotonen noch bei streng monotonen Funktionen aber darf es weder zu einer Unterbrechung des Funktionsgraphen kommen noch zu einer Richtungsänderung. Es darf auch keinen scharfen Knick im Graphen geben - die Funktion muß überall differenzierbar sein, die erste Ableitung muß also überall definiert sein.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Mikkey
31.07.2016, 12:33

Es darf auch keinen scharfen Knick im Graphen geben - die Funktion muß überall differenzierbar sein

Sorry, aber...

bist Du Dir da wirklich sicher?

Mir wurde schon in der Schule beigebracht, dass die Floor/Trunc-Funktion monoton ist, obwohl sie nicht einmal stetig ist.

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Kommentar von Wechselfreund
31.07.2016, 16:28

Bei einer monotonen Funktion geht es zwar auf Dauer auch immer weiter
bergauf
oder immer weiter bergab, dazwischen kann es aber auch
Abschnitte geben, in denen der Funktionsgraph parallel zur x-Achse
verläuft.

Wenn ich die Definition richtig verstanden habe, ist zz.B. f(x) = 3 sowohl monoton stegend als auch fallend, es geht also nicht "auf Dauer bergauf".

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Monotonie hat mit der Ableitung/der Steigung nichts zu tun.

Eine Funktion kann monoton und nicht differenzierbar sein.

Ja, eine lineare Funktion ist immer monoton. Wenn es keine konstante Funktion ist, ist sie streng monoton.

Man kann aber zeigen:

Wenn eine monotone Funktion differenzierbar ist, dann wechselt ihre Ableitung nicht das Vorzeichen. Ist die Funktion streng monoton, fällt die Ableitung auf keinem Intervall mit der Nullfunktion zusammen.

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