[Mathe] Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen?
Guten Abend,
ich habe noch ein paar Fragen zu folgender Aufgabe und freue mich über eure hilfreichen Antworten.
- Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht so richtig. Man soll ja die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen angeben. Nun habe ich (Bild 1) ja den Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet. Dieser ist gleichzeitig Berührpunkt mit der x-Achse, da das Schaubild K die Asymptote a(x) = 1 für x -> minus unendlich hat und für x -> plus unendlich gegen plus unendlich (in den 1. Quadranten) geht. Dieser Punkt ist aber ja kein Schnittpunkt mit der x-Achse, sondern nur ein Berührpunkt. Muss ich diesen nun auch als Lösung angeben oder nicht?
- War meine Berechnung auf Bild 3 überhaupt notwendig, um zu zeigen, dass es keine weiteren Punkte mit der x-Achse gibt?
- In diesem Fall habe ich darauf getippt, dass die Asymptote die Gleichung a(x) = 1 ist, was in diesem Fall auch richtig ist. Aber was ist die genaue Regel beim bestimmen einer Asymptote? Immer das letzte x ohne Exponent (falls es eins in der Funktion gibt) mit der letzen Zahl einer Gleichung ohne x (falls es diese gibt) einer e-Funktion?
[Bild 1]
[Bild 2]
[Bild 3]
[Bild 4]
Frage zu einer ähnlichen Aufgabe:
Und zwar muss man hier bei der Aufgabe 4.2 zeigen, dass die Tangente Kt das Schaubild Kf in x = -2 schneidet.
- Muss ich hierfür nun zeigen, dass die Steigung an der Stelle x = 3 von Kt und von Kf unterschiedlich ist?
- Oder reicht es zu zeigen, dass Kt und Kf durch den gleichen Punkt verlaufen? Also würde es reichen, dass sie sich in diesem Punkt bei x = 3 nur berühren oder muss die Steigung anders sein?
- Wird hier mit „schneidet“ auch ein Berührpunkt mit einbezogen, also schneiden sich Kt und Kf auch dann, wenn sie durch den gleichen Punkt verlaufen, aber die Steigung in diesem Punkt gleich ist?
2 Antworten
Muss ich diesen nun auch als Lösung angeben oder nicht?
Da weiß man nicht so ganz genau, was der Lehrer erwartet und wie er "Schnittpunkt" und "Berührpunkt" versteht. Für mich wäre das ein Berührpunkt und kein Schnittpunkt. Insofern finde ich deine Lösung gut, da sie diesen Umstand entsprechend berücksichtigt und keine Fragen mehr offen lässt.
War meine Berechnung auf Bild 3 überhaupt notwendig, um zu zeigen, dass es keine weiteren Punkte mit der x-Achse gibt?
Hier gilt das oben gesagte: man weiß nicht genau, wie der Lehrer das auffasst. Meiner Meinung nach gehört das aber zu einer vollständigen Lösung dazu. Du hättest höchstens noch als Lösungssatz ergänzen können: "Es gibt keine weiteren Nullstellen".
Aber was ist die genaue Regel beim bestimmen einer Asymptote?
Im ganz allgemeinen musst du alle Terme der Funktionsgleichung für sich betrachten, wie die sich für x -> ± ∞ und für x -> 0 verhalten. e^2x dominiert für x -> ∞ die gesamte Gleichung und bestimmt das Verhalten für die ganz gorßen x. e^2x ist aber keine Gerade und daher auch keine Asmptote.
Für negative x bdeutet aber dass aus
e^2x = 1/ e^⎮2x⎮ wird und dann ganz schnell in der Bedeutungslosigkeit, also in der Null verschwindet. Das gilt auch für -2e^x, wenn auch nicht ganz so schnell. Aber am Ende bleibt die 1 übrig, der die hohen negantiven x-Werte nichts anhaben können und die daher für x -> - ∞ sozusagen als einziger Term "überlebt".
Ja gut, dann würde ich das einfach so hinnehmen und mich darauf einstellen.
Guten Abend,
ich habe meine Frage gerade um eine Ergänzung ergänzt und vielleicht magst du mir dazu ja eine kleine Rückmeldung geben, das würde mir unendlich weiterhelfen :-)
Wünsche dir noch einen schönen Abend 🌆
Liebe Grüße
Habe nochmal ein bischen recherchiert, wie die exakten Definitionen lauten.
https://www.rhetos.de/html/lex/schnittpunkte.htm
Da muss man mal wieder den Alltagsbegriff und den Fachbegriff sorgfältig differenzieren.
In der Mathematik gilt als Schnittpunkt jeder Punkt, den zwei Objekte (Graphen) gemeinsam haben. Eine Durchdringung (wie in der Alltagssprache) ist nicht erforderlich.
Dementsprechend musst du auch nur nachweisen, dass der fragliche Punkt beide Funktionen erfüllt:
f(x) = g(x)
Wenn an dieser Stelle auch nich die Ableitung gleich ist:
f'(x) = g'(x),
ist der Schnittpunkt auch ein Berührpunkt.
Genau das schreibe ich mir jetzt auf eine Karteikarte! Vielen lieben Dank fürs recherchieren und für deine perfekte Erklärung 😄🤩 Wünsche dir noch einen schönen Abend 🌆
Hallo,
Schnittpunkt mit beiden Achsen ist der Punkt (0|0).
Zum einen suchst Du die Nullstellen (am besten e^x=z substituieren; ergibt z²-2z+1=(z-1)², was eine doppelte Nullstelle bei z=1 bedeutet.
Da e^x=z und z=1, muß die doppelte Nullstelle bei x=0 liegen.
Für die Asymptote prüfst Du das Verhalten für x gegen plus unendlich und gegen minus unendlich.
Da e^(2x) gewinnt, ist klar, daß die Sache für x gegen plus unendlich gegen unendlich geht.
Für x gegen minus unendlich gehen sowohl e^(2x) als auch e^x gegen Null, so daß als Grenzwert 1 bleibt.
Herzliche Grüße,
Willy
Schnittpunkt mit beiden Achsen ist der Punkt (0|0).
Das kann ich leider nicht nachvollziehen. Zwar wird die y-Achse im Punkt Sy(0|0) geschnitten aber die x-Achse wird ja nur im Punkt N(0|0) berührt und nicht geschnitten. Also ist es doch kein Schnittpunkt, sondern nur ein Berührpunkt.
Auslegungssache. Schnittwinkel ist 0°.
Schnittpunkte eines Graphen mit den Koordinatenachsen sind Nullstellen und y-Achsenabschnitte. Beides liegt hier vor.
Deine Antwort ist genau so gut - leider kann man ja nur einen Stern vergeben 😐 Vielen lieben Dank! :-)
Mein Lehrer hat mir gerade (ungefähr) folgendes gesagt:
Und:
Auch im Lösungsvorschlag der Abschlussprüfung, sofern ich es in der Schnelle richtig erkannt habe, stand, dass (0|0) der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist (ist ja auch ein Berührpunkt).