Schnittpunkte zwischen zwei Gleichungen?
Ich soll eine Funktion zweiten Grades und dritten Grades finden die jeweils einen schnittpunkt haben zwei oder drei.
Wie geht man da am besten vor gibt es da irgendeinen Trick mit den hochzahlen oder ähnliches?
1 Antwort
ein Schnittpunkt ist recht easy: Nimm für die Funktion dritten Grades einfach f(x)=x³, diese Funktion schlägt keine Wellen, sondern ist schön bijektiv. Für die Funktion zweiten Grades suchen wir uns einen Schnittpunkt im rechten Ast, z.B.
g(x) = x² + 1, das ist die Parabel um 1 erhöht (was nicht geht wäre g(x)=x², dann hätten wir zwei Schnittpunkte). Da x³ steiler steigt als x², bleibt der x³-Ast nach dem Schnittpunkt in der Kelchöffnung von x².
Für zwei Schnittpunkte: Das hatten wir gerade mit f(x) = x³ und g(x)=x², Beweis: Sei x = 0, dann hätten wir eine Lösung. Sei x ungleich 0, dann teilen wir beides durch x² und erhalten in der Gleichsetzung x = 1.
Drei Schnittpunkte, hierfür muss x³ gehörig Welle machen, das macht sie z.B. mit
f(x) = (x + 2) * (x + 1) * (x - 2) = x³ + x² - 4x -4, sie hat drei Nullstellen, nämlich -2, -1 und 2. Wir bauen jetzt g(x) = (x + 2) * (x - 2) = x² - 4. Diese Funktion hat die Nullstellen -2 und 2, also haben wir schon mal zwei Schnittpunkte. Den dritten Schnittpunkt finden wir auch ganz leicht, wenn wir x = 0 setzen, denn dann bleibt beide Male nur die Konstante!