MATHE - Schnittstellen berechnen Funktion des 3. Grades
Guten Abend!
Also ich habe folgendes Problem: Gegeben sind die Funktionen f(x)=1/3x^3 - 2,75x^2 + 6x - 2 und g(x) = 2/3x - 7/4 Um die Schnittstellen zu berechnen muss man beide Gleichungen gleichsetzten also g(x)=f(x).
Ich weiß nicht weiter..
5 Antworten
f(x)=g(x)
=> 1/3x^3 - 2,75x^2 + 6x -2 = 2/3x -7/4.
Jetzt noch nach "x" auflösen, ausklammern, alles auf eine Seite bringen (sprich, dass rechts "0" steht) etc. und bei Bedarf die Polynomdivision und die Lösungsformel anwenden.
Du musst eine Nullstelle raten. Weitere Schritte findest du hier:
http://www.onlinemathe.de/forum/Nullstellen-von-Polynomfunktionen
Gleichsetzen:
1/3x^3 - 2,75x^2 + 6x - 2 = 2/3x - 7/4
Alles auf eine Seite bringen:
1/3x^3 - 2,75x^2 + 6x - 2 = 2/3x - 7/4 I-(2/3x)
1/3x^3 - 2,75x^2 + 16/3 x - 2 = - 7/4 I+(7/4)
1/3x^3 - 2,75x^2 + 16/3 x - 15/4 = 0
Lösen mit Polynomdivision:
1/3x^3 - 2,75x^2 + 16/3 x - 15/4 = 0 I mit 12 multiplizieren
4x³ ‒ 33x² + 64x ‒ 3 = 0 I erkennen: 1 Lsg. = 3
(4x^3 - 33x^2 + 64x - 3) : (x - 3) = 4x^2 - 21x + 1
4x^3 - 12x^2
-----------------
- 21x^2 + 64x - 3
- 21x^2 + 63x
---------------------------
x - 3
x - 3
----------------
0
Jetzt noch mit PQ-Formel lösen:
x1,2= -(p/2) +-√((p/2)^2-q)
Dafür muss du noch durch 4 teilen
4x^2 - 21x + 1 I:4
x^2-5,25x+0,25 = 0
Und die Nullstellen sind
x1 = 4.94
x2 = 0.05
x3 = 3
Jetzt musst du es noch in eine deiner beiden gegebenen Funktionen einsetzen, welche ist egal, weil es ja Schnittstellen sind und die Punkte daher auf beiden Funktionen liegen.
Ich würde die Gerade nehmen, geht einfacher :)
g(x) = 2/3x - 7/4
g(3) = 0,25
g(0,05) = -1,71
g(4,94) = 1,54
Gleichsetzen heißt dann: alles auf eine Seite bringen!
Zu rechnen ist
1/3x^3 - 2,75x^2 + 6x - 2 - 2/3x + 7/4 = 0
Selbstverständlich erst einmal zusammenfassen! Dann mit 3 durchmultiplizieren (wegen des 1/3 vor x³).
3 wäre zufällig eine Lösung. Wenn man das ermitteln kann, sollte die Differenzfunktion richtig ausgerechnet sein. Aber eine Polynomdivision durch (x - 3) ist bei so einer Funktion nicht gerade ein Spaß.
Nicht den y-Wert vergessen, nur die Differenzfunktion hat Nullstellen. Für die beiden anderen sind es Schnittpunkte mit 2 Koordinaten. Aus der Geraden lässt sich der y-Wert schneller ermitteln!
Aus f(x) = g(x) folgt f(x) ‒ g(x) = 0 also ⅓x³ ‒ 2¾x² + 6x ‒ 2 ‒ ⅔x + 1¾ =
⅓x³ ‒ 2¾x² + 5⅓x ‒ ¼ = 0. Multiplikation mit Hauptnenner 12 ergibt
4x³ ‒ 33x² + 64x ‒ 3 = 0. Nun sieht man, dass x = 3 eine Lösung ist
und dividiert (4x³ ‒ 33x² + 64x ‒ 3) : (x ‒ 3) = 4x² ‒ 21x + 1
und berechnet dessen Nullstellen.
https://www.youtube.com/watch?v=SQx0WMkmpw8
für 2,75 würde ich 11/4 schreiben; dann alles nach links ordnen und die Gleichung mal 12 nehmen, damit du keine Brüche mehr hast; dann Horner Schema.
Leider hatten wir das Horner Schema noch nicht in der Schule durch genommen aber danke für den Tipp mit den 2,75 :)
ich bin bis ;
x^3 - 33/4x^2 + 16x - 3/4 = 0
gekommen. Weiß aber nicht weiter