Steigung von Funktionen
also ich hab die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 - x +4 und soll jetzt angeben für welche x-Werte die Steigung der Funktion größer als 104 ist. Ich hab zuerst die Ableitung gebildet f´(x) = 3x^2 - 6x -1 und dann die größer 104 gesetzt und nach x aufgelöst: 3x^2 - 6x -1 > 104. allerdings is das so nicht richtig. meine frage: warum kann man das nicht so machen und wie geht es dann? mir fällt nämlich sonst kein lösungsweg ein...
3 Antworten
Dein Ansatz, die Ableitung von f ( x ) zu bestimmen und diese > 104 zu setzen, ist völlig richtig.
Ich vermute, dass du bei der weiteren Berechnung, insbesondere beim Wurzelziehen, einen Fehler gemacht hast.
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Die weitere Berechnung erfolgt so:
3 x ^ 2 - 6 x - 1 > 104
<=> 3 x ^ 2 - 6 x > 105
<=> x ^ 2 - 2 x > 35
(Jetzt auf beiden Seiten die quadratische Ergänzung addieren):
<=> x ^ 2 - 2 x + 1 > 36
<=> ( x - 1 ) ^ 2 > 36
.
Jetzt kommt das Wurzelziehen, und da vermute ich deinen Fehler.
Ich nehme an, dass du so weitergerechnet hast:
x - 1 > + / - 2.Wurzel ( 36 )
<=> x > 6 + 1 ODER x > - 6 + 1
<=> x > - 5
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Das fett markierte ist falsch. Dort muss es heißen:
x < - 5
.
Warum?
Weil diese leider häufig verwendete Art, die Wurzel zu ziehen, falsch ist:
( x - 1 ) ^ 2 > 36
<=> x - 1 > + / - 2.Wurzel ( 36 )
.
Richtig ist:
( x - 1 ) ^ 2 > 36
<=> | x - 1 | > 6 (Der Betrag von x - 1 muss größer als 6 sein)
<=> x - 1 > 6 ODER - x + 1 > 6 (So wird der Betrag aufgelöst, siehe Definiton der Betragsfunktion)
<=> x > 7 ODER x < - 5 (Und dann ergibt sich auch das richtige Ergebnis)
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Während man den Unterschied bei einer Gleichung nicht bemerkt (weil dieses in beide Richtungen gleich ist), so ist er bei einer Ungleichung entscheidend, da die Richtung des Ungleichheitszeichens davon abhängt, dass man die Wurzel auf die korrekte Weise zieht.
Du setzt f'(x) = 104. Also 6x² - 6x - 1 = 104
Dann löst du nach x auf und hast dann den X-Wert, welcher exakt 104 ergibt - Alles dadrüber ist größer als 104 (das kannst du mit einem Beispiel noch belegen)... So müsste es eigtl. gehen (war aber auch nie ein großes Mathe-Ass^^)
so wollt ichs ja machen, aber als wir die aufgaben besprochen haben, waren meine ergebnisse falsch^^
3x^2 - 6x -1 > 104
rechne zuerst:
3x^2 - 6x -1 = 104