Frage von krasniqi12345, 43

Art und Lage der Extrempunkte bestimmen?

Also meine Funktion ist: f(x)=x^3-0,25x^4

also meine Ableitungen sind:

f ' (x)=3x^2-1x^3 f '' (x)=3x^2-3x^2 f ''' (x)=6-6x

wie geht das jetzt weiter?

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

f(x)=x³-0.25x^4

f'(x)=-x³+3x²

f''(x)=-3x²+6x


Nun musst du f'(x)=0 setzen und ausrechnen (Tipp: ausklammern).

Dann setzt du die erhaltenen x-Werte in die zweite Ableitung und schaust, was heraus kommt.

Wenn Wert>0, dann Tiefpunkt

Wenn Wert<0, dann Hochpunkt.


Dann in f(x) einsetzen, um die y-Koordinaten der Extrema zu erhalten.

Antwort
von 2Fragensteller0, 19

Die erste Ableitung durch ausmultiplizieren und P-Q Formel nullsetzten. Ergebnisse ist die zweite Ableitung einsetzten und wenn ein positiver Wert rauskommt, dann ist es ein Tiefpunkt und wenn ein negativer Wert rauskommt dann ist es ein Hochpunkt

Kommentar von TechnikSpezi ,

Die erste Ableitung durch ausmultiplizieren und P-Q Formel nullsetzten

Das stimmt nicht ganz. Bei ganzrationalen Funktionen gibt es deutlich mehr Möglichkeiten die Nullstellen zu bestimmen als die PQ-Formel und ausmultiplizieren, was man eigentlich ausklammern oder faktorisieren nennt.

Beispielsweise gibt es noch die Polynomdivision, die im Lerplan in NRW nun allerdings gestrichen wurde und mit dem GTR zu machen ist. Aber z.B. das Substituieren muss man auch drauf haben.

Kommentar von 2Fragensteller0 ,

Naja wir in der 10ten Klasse haben noch nichts anderes als das

Antwort
von seifreundlich2, 16

Extrema:

  • notwendiges Kriterium: f'(x) = 0 => x_0
  • hinreichendes Kriterium: f''(x_0) >/< 0 => Minimum/Maximum, sonst Sattelpunkt.
Kommentar von Wechselfreund ,

hinreichendes Kriterium: f''(x_0) >/< 0 => Minimum/Maximum, sonst Sattelpunkt.

Auch bei f'' = 0 kann ein Extremum vorliegen...

Kommentar von seifreundlich2 ,

Ja, das stimmt, z.B. bei f(x) = x^4... Ich wollte es dem Fragestellenden vereinfachen, da das in Schulaufgaben meistens nicht der Fall ist.

Antwort
von TechnikSpezi, 13

1. Ableitung bilden:

Hast du ja hier schon gemacht.

f(x) = x³ - 0,25x^4

f'(x) = 3x² - x³

Mehr Ableitungen brauchst du dafür eigentlich gar nicht. Mehr haben wir nie genutzt. Ich weiß aber, dass es auch so geht.

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2. Notwendige Bedingung (f'(x) = 0):

Auf gut Deutsch: Die erste Ableitung nullstellen:

3x² - x³ = 0

Hier emfielht es sich dann, x² auszuklammern.

x² ( 3 - x) = 0

Dann wissen wir schon einmal folgendes:

x1 = 0

x2 = 0

Zur Erinnerung:

Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Das reicht aber noch nicht, es geht ja noch weiter.

3 - x = 0 | +x

x = 3

Also nochmal alle Nullstellen von f'(x) zusammengefasst:

x1 = 0 ; x2 = 0 ; x3 = 0;

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3. Hinreichende Bedingung:

Hier musst du nun mithilfe der VZW - Tabelle die Art als auch den genauen Punkt der Extrempunktebestimmen, da du bisher nur die x-Werte der Punkte hast.

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Schon einmal als Lösung: Wie zu vermuten gibt es einen Sattelpunkt bei S(0 | 0), die Richtung ändert sich also nicht.

Bei x = 3 gibt es dann einen Hochpunkt, genauer gesagt bei H(3 | 6,75).

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Im Bild siehst du in blau den Graphen der Funktion f(x) und in rot den Ableitungsgraphen f'(x).

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Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Bei Fragen kannst du natürlich gerne kommentieren ;)

Liebe Grüße

TechnikSpezi

Kommentar von krasniqi12345 ,

OMG DANKESCHÖÖÖN, BESSER HÄTTE MAN ES NICHT BESCHREIBEN KÖNNEN

Kommentar von TechnikSpezi ,

Freut mich!

Bitte :))

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