Lotfußpunktverfahren (Abstand Punkt/Ebene)
Leider verstehe ich nicht ganz wie genau das Lotfußpunktverfahren angewendet wird. Bzw. Ich habe bis jetzt noch keine ausfürlichen Erklärungen gefunden. Kann mir bitte jemand helfen.
Aufgabe: Gesucht ist der Abstand d des Punktes P(4/4/5) von der Ebene E:x+y+2z=6.
g: x(vektor)=(4/4/5)+r(1/1/2)
(4+r)+(4+r)+2(5+2r)=6
[wo kommt den jetzt aufeinmal die 2 vor der dritten klammer her?]
18+6r=6
r=-2, F(2/2/1)
d={PF}=(wurzel auf)(2-4)²+(2-4)²+(1-5)²(wurzel zu)
d= (wurzel aus 24)=ca. 4,90
Es würde mich freuen, wenn die Erklärung jeden Schritt ausführlich beschreiben würde, oder ein Bsp. mit anderen Zahlen verwändet würde.
P.S. Hat die 2 etwas mit dem Umformen von Koordinatengleichung zu Normalgleichung zu tun? Wenn ja, könnte mir bitte jemand erklären wie man auf die drei Vektoren kommt die man von Vektor x abziehen muss?
Danke
2 Antworten
Also: Du hast ja den Punkt gegeben und die Ebenengleichung in Koordinatenform. Das bedeutet, dass du somit auch gleich den Normalenvektor mitgegeben hast, nämlich n:(1/1/2) (ist halt jetzt blöd, dass ich das hier so dumm schreiben muss, musst es dir eben untereinander denken ;) ) Damit kannst du dann sofort die Lotgerade bilden, indem du einfach den gegeben Punkt für den Ortsvektor und den Normalenvektor für den Richtungsvektor nimmst (So kommst du auf den Vektor g in deiner zweiten Zeile). Danach setzt du wiederum diesen Vektor in die Koordinatengleichung vom Anfang ein. Also wenn du es dir so besser vorstellen kannst: Die Koordinatengleichung ist: ax+by+cz=d
Also rechnest du jetzt a(4+r1)+b(4+r1)+c(5+r2)=d Das in der Klammer sind die 1, 2 und 3 Zeile des Vektors. Also jetzt im Beispiel: 1(4+r)+1(4+r)+2(5+2r)=6 Ich hoffe, es ist jetzt klarer? Hast du den Rest dann verstanden? Ansonsten sag es, dann versuch ich es nochmal etwas deutlicher zu erklären :)
du setzt doch in die koordinatenform der ebene ein; für x setzt du 4+r ein und für y setzt du 4+r ein und für z setzt du 5+2r ein und die 2 vor der klammer kommt von der 2 vor dem z in der ebenengleichung x+y+2z=6
ich habe es noch nicht ganz verstanden.
Also kann ich das so verstehen, dass die zahl mit der r multipliziert wird identisch mit a bzw. b bzw. c ist?
Also a(4+ra)+b(4+rb)+c(5+rc)=6