Wie berechnet man den Abstand zweier Ebenen, die in der Koordinatenform angegeben sind?
Hallo liebe Community, Im Last-Minute-Überfliegen für die morgige Matheklausur ist mir eine Unklarheit aufgefallen. In einer Aufgabe war nach einer Ebene gefragt, die zu E1: 2x1-2x2+x3=0 den Abstand 7 haben sollte. Ich hatte gedacht (weil es so im Buch gesagt wurde), dass es einfach E2: 2x1-2x2+x3=7 wäre. Dann habe ich aber, um dies zu überprüfen einfach den Punkt (6|3|1) genommen, der ja in E2 liegen müsste. Nehme ich diesen als Stützvektor einer Geraden, die den Normalvektor von E als Richtungsvektor hat und berechne den Schnittpunkt mit E1, erhalte ich jedoch einen Punkt dessen Vektor zu (6|3|1) nicht eine Länge von 7 hat. Das ist der Moment, wo ich nicht mehr weiter weiß. Eine schnelle Hilfe wäre super! Danke!
2 Antworten
Hallo,
Hessesche Normalenform:
e=n0*Q-n0*P
e=7
n0=(2/-2/1)*1/3 (also n geteilt durch seinen Betrag)
P ist irgendein Punkt aus 2x-2y+z=0, etwa (1/1/0)
Q ist ein Punkt aus der gesuchten Ebene it den Koordinaten x/y/z
Also:
2/3x-2/3y+1/3z-(2/3-2/3)=7
2/3x-2/3y+1/3z=7
2/3*(x-y+1/2z)=7
x-y+1/2z=21/2
2x-2y+z=21
Das ist die gesuchte Ebene, die den Abstand 7 besitzt.
Herzliche Grüße,
Willy
hm, also direkt aus der Koordinatenform könnte ich da nicht viel ableiten.
Ich würd eher mit ein paar Tricks das mal in eine Parameterform umformen:
Ich definiere: t=x1,s=x2 und x3=-2x1+2x2= -2t+2s
Das vektoriell geschrieben ist
(x1,x2,x3)=(t,s,-2t+2s)=t*(1,0, -2)+s*(0,1,+2)
Wenn du dir das überlegst, sind nun v=(1,0, -2), w= (0,1, +2) die Vektoren, die in der ebene liegen.
Ein stützvektor ist nicht gegeben weshalb die ebene offenbar durch den Punkt (0,0,0)
läuft.
Nun willst du eine Ebene mit Abstand 7.
Jetzt würd ich mir mal mit n=w x v einen Normalenvektor senkrecht zur ebene basteln.
Dann N=k*n so basteln dass |N|=7 (sprich: der senkrechte Abstand der 2 ebenen soll gleich 7 sein.) dazu setzt du einfach |N|=k*|n|=7, bestimmst k, setzt k ein um N zu erhalten.
Dann ist deine ebene 2 (die gesucht ist)
h(t,s)=N+t*v+s*w
also letztlich deine erste Ebene mit dem Vektor N verschoben.
das hauptsächlich schwierige ist die umstellung in Parameterform deiner ersten ebene.
Und das aufstellen und skalieren (sehr wichtig, nicht vergessen!) des stützvektors der 2 Ebene.
Das ist mal der weg wie ich als Jemand, der sowas schon seit Längerem nicht mehr gerechnett hat, das lösen würde.
Gibt sicherlich direktere Wege, aber funktionieren tut es auf jeden fall