Warum ist der richtungsvektor Stützvektor und AB und?
Hallo , ich schreibe morgen 3 h Mathe und ich will nicht die rechenwege auswendig können sondern es verstehen .
Der stützvektor ist A , weil sich auf der gerade g befindet . Da Punkt B auch auf der Gerade g liegt kann dieser doch als Richtungsvektor eingesetzt werden oder nicht ?
Wie in der ersten Abbildung:
Im Buch steht aber die Strecke von AB also Punkt B - Punkt A . Aber warum ? Ich will es verstehen und bin für jede Antwort dankbar .
Wieso muss ichsüchtig Strecke AB als Richtungsvekto nehmen und nicht einfach den Punkt B der auch auf g liegt ? (ABB. 2)
3 Antworten
Da Punkt B auch auf der Gerade g liegt kann dieser doch als Richtungsvektor eingesetzt werden oder nicht ?
Jein.. je nach dem, wo du ihn einsetzen willst. Um den Richtungsvektor zu konstruieren wurde er ja im Beispiel benutzt (eingsetzt):
Vektor AB = B - A
Vektor BA = A - B wäre ein ebenso gültiger Richtungsvektor, da dieser vom Ortsvektor aus gesehen auf der anderen Seite liegt, aber immer noch auf der (unendlichen) Gerade.
In die fertige Parameterform (Vektor x = ...) darf er nicht ohne weiteres eingesetzt werden. Denn wenn von Ortsvektor und Richtungsvektor die Rede ist, dann bezieht sich der Richtungsvektor immer auf den Ortsvektor und nicht auf den Ursprung.
Der Vektor x sagt also: "Du befindest dich am Ursprung und gehst zum Punkt (1 | -2 | 5). Von dort aus bewegst du dich 3 Schritte in X-, 8 Schritte in Y- und -7 Schritte in Z-Richtung."
Während die Punkte A und B nur sagen: "Bewege dich vom Ursprung in die angegebene X-, Y-, und Z-Richtung."
Das lässt sich leicht überprüfen, indem du für t=1 annimmst und dann die Vektoren in der Geradengleichung addierst. Du wirst feststellen, dass das Ergebnis dein Punkt B ist.
Nicht nur der Richtungsvektor, sondern auch der Stützvektor wird aus einer Differenz von 2 Punkten gebildet. Da der zweite Punkt beim Stützvektor (Ortsvektor) der Koordinatenursprung ist, ist die Differenz (1 - 0│-2 - 0│5 - 0) = (1│-2│5). Somit kann man den Punkt A (oder auch B) unmittelbar als Stützvektor verwenden.
Der Richtungsvektor ist ein Vektor, der entlang der Geraden zeigt.
Der Stützvektor ist ein Vektor, der vom Ursprung auf irgendeinen Punkt der Geraden zeigt.
Der Ortsvektor eines Punkts ist ein Vektor, der vom Ursprung auf diesen Punkt zeigt.
Also:
Der Vektor AB zeigt vom Punkt A zum Punkt B. Nachdem A und B beide auf der Geraden liegen, zeigt dieser Vektor also entlang der Geraden, wie man auch auf dem letzten Bild sieht. Er ist also ein möglicher Richtungsvektor.
Der Ortsvektor a des Punkts A zeigt vom Ursprung auf den Punkt A, also auf einen Punkt der Geraden, da ja A auf der Geraden liegt. Also ist a ein möglicher Stützvektor der Geraden. Genauso ließe sich auch der Ortsvektor des Punkts B als Stützvektor verwenden.
Wenn noch Fragen sind, bitte einfach fragen! :)
Du kannst unabhängig von der Wahl des Stützvektors sowohl AB als auch BA als Richtungsvektor wählen. Der Richtungsvektor muss nur entlang der Geraden zeigen, egal in welche Richtung. Auch seine Länge darf beliebig sein. AB und BA sind bloß am einfachsten zu berechnen.
soweit ist alles klar , wenn ich den Punkt B einfach einzeichne , dann lese ich vom Koordinatensystem doch die gleiche streck von AB ab wie wenn ich B-A rechne oder nicht .
Es ist grundsätzlich schwierig etwas aus einem dreidimensionalen Koordinatensystem etwas zuverlässig abzulesen, Rechnen ist da die Methode der Wahl. Ich bin mir nicht sicher, was du mit "Strecke" meinst, solltest du aber den Abstand von A zu B meinen, dann hilft er dir nicht so viel, denn dich interessiert ja gerade die Richtung von AB und nicht die Länge.
Also könnte ich B Nicht einfach einsetzen ?
Einsetzen für was? Für den Stützvektor - ja. Für den Richtungsvektor - nein, denn der Vektor, der vom Ursprung zum Punkt B zeigt, zeigt im Allgemeinen nicht entlang der Geraden (es sei denn, die Gerade verläuft zufälligerweise durch den Ursprung).
OA ist kein Ort im Koordinatensystem sondern ein Vektor vom Ursprung O zum Punkt A. Du kannst also von OA aus nichts zeichnen. ;) Aber von A aus kannst du zeichnen, denn A ist ein Punkt an einem bestimmten Ort im Koordinatensystem. Dann kriegst du aber gerade den Vektor AB, der ja von A aus auf B zeigt.
Wenn du einen Vektor von A nach B zeichnest, ist das kein Vektor B mehr. B ist erstmal kein Vektor sondern ein Punkt. Diesem Punkt kann aber ein Vektor b zugeordnet werden, sein Ortsvektor. Aber der darf nicht irgendwo in der Gegend starten sondern startet immer im Ursprung. Die Aussage "den Vektor B vom Punkt A aus zeichnen" macht also nicht viel Sinn. ;)
Also wenn B mein stützvektor wäre müsste ich als richtungsvektor BA benutzen , richtig ?
Punkt B ist ja auch ein Punkt auf der gerade g . Kann ich ihn nicht dann einfach einzeichnen und eine Linie (g) durch die Punkte A und B ziehen ?