Punkte mit bestimmten Abstand auf einer Ebene bestimmen :s
Hallo ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht mehr weiterkomme. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes R(5/-4/3) und der Ebene E:2x1-2x2+x3=0 & Bestimmen sie dazu 3 weitere Punkte, die den gleichen Abstand haben.
Also der erste Teil der Aufgabe war kein Problem :) wenn ich mich nicht verrechnet habe beträgt der Abstand 7 LE :D nur weiß ich jetzt nicht wie ich 3 weitere Punkte mit dem selben Abstand finden kann :( kann man vllt eine parallele Ebene oder so aufstellen :S
3 Antworten
Der Abstand stimmt schon mal.
Im Grund ebrauchst Du doch nur eine Ebene zu finden, die Durch Deinen Punkt R geht und parallel zu E ist. Dann haben alle Punkte dieser Ebene natürlich von E auch den Abstand 7.
Wenn Du eine weitere Ebene mit dem Abstand 7 haben möchtest, könntest Du R an E spiegeln und durch R' wiederum eine parallele Ebene legen. Dann hast Du noch mal unendlich viele Punkte mit dem Abstand 7. Toll, gelle?
Schöne Lösung bei KDWalther. Vielleicht etwas unaufwändiger:
- Dividiere den Normalenvektor von E durch seinen Betrag und bestimme damit einen Einheitsnormalenvektor n0 von E (was du wahrscheinlich zur Bestimmung des Abstands ohnehin schon machtest).
- Die Punkte (0 | 0 | 0), (-1 | 0 | 2) und (0 | 1 | 2 ) liegen auf E (was ich ohne mehr als zwei Sekunden nachzudenken hinschreiben kann - warum wohl?)
- Hänge das 7fache von n0 an je einen der drei Punkte, oder an ebenso einfach selbst ausgesuchte - fertig.
ich hab noch nie in meinem Leben von einem Einheitsvektor gehört xD naja ich hab jetzt mal versucht den aufzustellen und da kommt bei mir (2/3 , -2/3, 1/3) raus :S kann das sein? :s
Ja, so ist es; per Defintion gilt für einen Einheitsvektor v
| v | = 1
(Betrag des Vektors)
Erklärung auch zu KDWalthers Kommentar (Hesse'sche Normalenform):
Wenn in der Normalenform einer Ebenen- (oder im Zweidimensionalen: Geraden-) Gleichung
N X - d = 0
(N, X Vektoren, d Skalar) der Normalenvektor ein Einheitsvektor ist, heißt die Normalenform Hesse'sche Normalenform:
Die linke Seite der Gleichung ist sehr praktisch, denn sie ist ein Messinstrument für den orientierten Abstand eines beliebigen Punktes von der Ebene: Für genau die Punkte der Ebene ist dieser logischerweise 0 = rechte Seite der Gleichung;
- für solche Punkte, die (in Blickrichtung der Orientierung des Normalenvektors) vor ihr liegen, ist er positiv, und
- für solche Punkte, die (iin Blickrichtung der Orientierung des Normalenvektors) hinter ihr liegen, ist er negativ.
Gibt also auch gleich eine räumliche Vorstellung. - Ich dachte, dass du den Einheitsnormalenvektor schon benutztest, um den Abstand des Punktes R von der Ebene zu bestimmen, denn das ist fix & einfach.
@ psychironiker
(Achtung, nicht ernst gemeint:) Was, bitte schön, ist an meiner Lösung aufwändig? :-)
Mit der Punkt-Normalen-Form braucht man nur einsetzen und hat die fertige Gleichung: F: n*(x-r)=0
Ich hatte bei meiner Antwort schon was von Hesse'scher Normalenform geschrieben, doch wieder gelöscht, weil diese Form nur noch wenig unterrichtet wird. Das wäre dann aus meiner Sicht der plausibelste Weg gewesen - und hätte zu Deiner Lösung geführt, wenn auch auf einem anderen Weg.
@KDWalther: Okay... ich sehe schon, dass ich mich demnächst dann auch in so einen empört herumschimpfenden, geifernd gestikulierenden, Stock schwingenden Alten verwandele, Tonfall: "Was lernen denn die heute überhaupt noch in der Schule?" etc. etc.
Glücklicherweise ist es noch nicht ganz so weit... Oder ich bin einfach ein Fan der Hesse'schen Normalenform: Schublehre der Mathematiker.
Ich würde den ersten Teil über den Normalenvektor, aus dem man eine grade durch den gegebenen Punkt berechnet, lösen. Hast Du diesen Normalenvektor, kannst Du ihn nutzen, um zu beliebigen Punkt der Ebene 2 Punkte mit dem richtigen Abstand zu errechnen.
Könte die 2te Ebene vllt so aussehen:
2x1 - 2x2 +x3 = 21 ?