Wie kann man drei verschiedene Punkte mit dem Abstand 3 zur Ebene bestimmen?
Hallo,
ich hab hier diese Aufgabe gegeben und wir sollen selber herausfinden, wie das funktioniert. Kann mir vielleicht einer erklären, wie man das lösen kann?
Danke im Voraus
3 Antworten
Praktischerweise hat der Normalenvektor, der durch die Koordinatengleichung "vorgegeben" ist, die Länge 3.
Du suchst dir also drei Punkte A, B, C heraus, die in der Ebene liegen, und addierst zu ihrem Ortsvektor den Normalenvektor. Die so entstehenden Vektoren sind Ortsvektoren von Punkten, die von der Ebene den Abstand 3 haben.
An sich würden sogar zwei Punkte A, B in der Ebene reichen. An den Ortsvektor zu A addierst du den Normalenvektor, das liefert dir den ersten Punkt mit Abstand 3. Den zweiten Punkt bekommst du, indem du vom Ortsvektor zu A den Normalenvektor abziehst. Du gehst damit nämlich in die entgegengesetzte Richtung, und der Vektor, der dadurch entsteht, ist ein weiterer Ortsvektor zu einem Punkt mit Abstand 3. Für den dritten Punkt machst du dann das selbe, nur mit Punkt B.
Am einfachsten mit der Formel Abstand Punkt/Ebene d=d(P;E)=|(p-a)*no|
Punkt P(x/y/z) → p(x/y/z)
A(ax/ay/az) → a(ax/ay/az) beliebiger Stützpunkt (Stützvektor) der Ebene
no=nx/|n|+ny/|n|+nz/|n|=1 ist der Normaleneinheitsvektor der Ebene
E: 1*x-2*y-2*z+3=0
Normalenvektor n(1/-2/2)
Betrag |n|=Wurzel(1²+(-2)²+2²=3
no=1/|3|+(-2)/|3|+2/|3| → no[(1/3)/(-2/3)/(2/3)]
nun einen beliebigen Stützpunkt der Ebene ermitteln
wir wählen mal 1*1-2*2+2*z+3=0 also x=1 und y=2
1-4+2*z+3=0
4-4+2*z=0
2*z=0 → z=0
a(ax/ay/az)=(1/2/0)
3=|[(x/y/z)-(1/2/0)]*[(1/3)/(-2/3)/(2/3)]
3=|-1*x+2*y+0*z)*[....]| mit dem Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz
hier
|-1*x*nox+2*y*noy+0*z*noz|=3
gibt also unendlich viele Möglichkeiten,weil wir hier 3 Unbekannte,x,y und z haben und nur 1 Gleichung
Vorgehensweise:
1) den Normaleneinheitsvektor der Ebene no(nox/noy/noz) bestimmen
2) einen beliebigen Stützpunkt (Stützvektor) A(ax/ay/az) → a(ax/ay/az) der Ebene bestimmen
3) in die Abstandsformel d=|(p-a)*no| einsetzen und P(x/y/z) → p(x/y/z) bestimmen
2.te Möglichkeit: Über eine Lotgerade g: x=a+r*m
m(nx/ny/nz) ist der Normalenvektor der Ebene
2) Abstand von 2 Punkten im Raum d=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²
3) einen Stützpunkt der Ebene berechnen a(ax/ay/az)
4) P(x/y/z) → p(x/y/z) mit der Lotgeraden gleichsetzen
(x/y/z)=(ax/ay/az)+1*(ny/ny/nz)
in d²=3²=9=(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²
Eine Ebene hat ja unendlich viel Punkte,die als Stützpunkte (Stützvektoren) dienen können.
x=1 und x=2 habe ich frei gewählt,weil man da gut rechnen kann
eingesetzt und nach z=.... umgestellt ergibt dann einen Stützpunkt von unendlich vielen möglichen Stützpunkten
Ebenengleichung
E: 1*x-2*y+2*z+3=0
wir haben hier 3 Unbekannte,x,y und z aber nur eine Gleichung → eine "eindeutige Lösung " gibt es somit also nicht.
Man kann für x,y oder z wählen was man will,solange die Gleichung erfüllt ist
kannst auch für y=-0,345 und z=3,567 wählen ,einsetzen und dann nach x umstellen.
Ergibt dann den Stützpunkt A(x/-0,345/3,567) Stützvektor a(x/-0345/3,567) allerdings ziemlich umständlich.
no=Normaleneinheitsvektor steht "senkrecht" auf der Ebene und hat den Betrag |no|=1
Normalenvektor steht "senkrecht" auf der Ebene
der Normalenvektor no hat den Betrag |no|=1 → Länge is 1
Beispiel: Vektor a=(1/2/-2) Betrag |a|=Wurzel(1²+2²+(-2)²)=3
Einheitsvektor ao=ax/|a|+ay/|a|+az/|a|=1/3+2/3+(-2)/3 → ao[(1/3)/(2/3)/(-2/3)]
Betrag |ao|=Wurzel((1/3)²+(2/3)²+(-2/3)²)=Wurzel(1)=1
Unterschied von a(1/2/(-2) und ao ist nur die Länge→ Betrag
Die Richtung ist bei beiden Vektoren a(....) und ao(.....) gleich
Hat man einen Stützpunkt einer Geraden g: x=(2/4/-6)+r*m
dann kann man für den Richtungsvektor m=a(1/2/-2) nehmen,als auch
m=ao(aox/aoy/aoz)
du setzt die Werte der Ebene in die Abstandsformel ein
(1•x - 2•y + 2•z + 3)/ wurzel(1²+2²+2²) = 3
jetzt suchst du dir passende x,y,z
x - 2y + 2z + 3 = 9
x - 2y + 2z = 6
zB
P(6;0;0)
oder
Q(2;0;2)
Und wie genau sind sie auf P und Q gekommen? Man kann ja nicht einfach durch ausprobieren auf diese Werte kommen oder?
doch; du sollst ja Punkte angeben, die den Abstand 3 zur Ebene haben.
Danke, ich hätte noch mal ne Frage, wie hast du den Stützpunkt der Ebene bestimmt und wieso hast du einfach für x=1 und y=2 eingesetzt?
und was genau ist no?