Ebene soll Parallel zur anderen Ebene sein und zusätzlich einen gewissen Abstand zum Koordinatenursprung haben?
Hey ich habe eine Aufgabe diese lauet, dass man eine Ebene F so bestimmen soll, dass sie parallel zur Ebene E ist und gleichzeitig gilt, dass sie den Abstand 3 Wurzel 3 zum Ursprung hat. In Text steht weiterhin der Normalenvektor der Ebene E, dieser hat stets nur 1 als Komponenten.
Die Idee dahinter ist das beide Vektoren den selben Normalenvektorrichtung haben und sich beide lediglich von einer Zahl voneinander unterscheiden. Diese gesuchte Zahl lautet Betrag von 3, da ich diese mit den Textinformationen rausbekommen kann. Allerdings versteht ich nicht wieso man das Skalarprodukt von den Normalenvektor der Ebene F und den Fußpunkt berechnen muss, um die Ebene F zu bestimmen, könnte das mir jmd. erläutern.
2 Antworten
Die beiden Ebenen
(E1) a1 * x + b1 * y + c1 * z = d1
(E2) a2 * x + b2 * y + c2 * z = d2
sind parallel, wenn sich nur d1 von d2 unterscheidet.
Der Normalenvektor beider Ebenen ist identisch, da beide Ebenen dazu senkrecht verlaufen.
Der Normalenvektor lautet (a1,b1,c1) = (a2,b2,c2)
Teilt man -d1 bzw -d2 durch den Betrag des Normalenvektors, erhält man den Abstand der Ebene zum Ursprung.
Betrag des Normalenvektors = wurzel( a1² + b1² + c1²)
A1 (Abstand Ebene 1 zum Ursprung) = -d1 / wurzel( a1² + b1² + c1²)
A2 (Abstand Ebene 2 zum Ursprung) = -d2 / wurzel( a1² + b1² + c1²)
Abstandsformel Punkt/Ebene
d=d(P,E)=Betrag((p-a)*no)
n(1/1/1) Betrag (n)=Wurzel(1²+1²+1²)=Wurzel(3)=1,7320..
no(nox/noy/noz)=1/Wurzel(3)+1/Wurzel(3)+1/Wurzel(3)
P(0/0/0)
d=Betrag(0*nox+0*noy+0*noz-(ax*nox+ay*noy+az*noz))
d=Betrag(ax*nox+ay*noy+az*noz)
d ist bekannt und wir wählen ax=1 und ay=1 daraus kann man az berechnen.
parallele Ebenen
1) die Normalenvektoren sind kollinear (parallel)
2) der Normalenvektor einer Ebene ist orthogonal (rechtwinklig) zu beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene.
Vektorielle Parametergleichung der Ebene
E: x=a+r*u+s*v
u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz) sind die beiden Richtungsvektoren der zweiten Ebene
Den rest schaffst du wohl selber.