Vektorrechnung: Was für braucht man das Skalarprodukt?
So wie ich das verstehe, dient das Skalarprodukt (einfach nur eine Zahl), um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen?
5 Antworten
Zunächst einmal ist das Skalarprodukt nur eine von zwei Verknüpfungen bei Vektoren, die beide Produkt genannt werden (Kreuz- oder Vektorprodukt das andere). Heraus kommt immer eine Zahl (Skalar).
Geometrisch interessant ist, dass damit der Zwischenwinkel über den Kosinus berechnet werden kann. Das hat die erfreuliche Folge, dass wegen cos 90° = 0 aus dem Ergebnis Null geschlossen werden kann, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. (Dies erlaubt den Beweis des Pythagoras in drei Zeilen.)
Multipliziert man einen Vektor skalar mit sich selbst, erhält man den Betrag (Länge) des Vektors, sobald man dann noch die Wurzel gezogen hat.
Das Skalarprodukt ‹u, v› zweier Vektoren u und v sagt aus, ob sie orthogonal zueinander sind.
Lautet die Antwort ja, so ist es nämlich 0.
Gleichzeitig sagt aber auch das Skalarprodukt ‹u, u› eines jeden Vektors u mit sich selbst etwas über seine Länge aus. Die Quadratwurzel daraus heißt die euklidische Norm oder der Betrag von u und wird mit |u| bezeichnet.
Ist |u|=1, so heißt u ein normierter Vektor, und auch für einen beliebigen Vektor u gibt es eine normierte Version u/|u|.
Es ist auch
‹u/|u|, v/|v|› = cos(φ),
wenn φ der Winkel zwischen u und v ist.
In der Quantenmechanik wird die Ähnlichkeit zweier Zustände am Skalarprodukt ihrer Zustandsvektoren gemessen. Dies sind freilich Vektoren in einem abstrakten Vektorraum, der oft unendlichdimensional ist, z. B. ein Funktionenraum.
In der Physik tauchen Skalarprodukte ohnehin besonders häufig auf, oft zwischen unterschiedlichen Größen.
Ein praktische Anwendung ist z.B. die Berechung der Helligkeit eines pixels in computeranimierten Trickfilmen. Dort gibt es virtuelle Flächen von Objekten (Komikfiguren, Gegenstände, Autos, Häuser) und es gibt virtuelle Lichtstrahlen, die das ganze Szenario beleuchten. Fällt der virtuelle Lichtstrahl senkrecht auf das virtuelle Objekt, dann muss es maximal hell dargestellt werden. Fällt der Lichtstrahl streifend (0°) auf das Objekt muss es dunkel dargestellt werden. Stets muss Richtung gegen Richtung skalar bewertet werden. Das Skalarprodukt zweier Vektoren funktioniert hier am besten, um die Dinge natürlich erscheinen zu lassen. - Habe so etwas selbst schon programmiert.
Hauptsächlich ist das Skalarprodukt von zwei Vektoren dazu da, eine 90 Grad Winkel zu bestimmen.
Um einen anderen Winkel zu bestimmen, brauchst du eine etwas kompliziertere Formel und die steht in deiner Formelsammlung.
Hoffe ich konnte dir helfen :)
Das Skalarprodukt erhält man, wenn man zwei Vektoren miteinander multipliziert.