Schnittpunkt von zwei diagonalen Vektoren?
Guten Tag zusammen
Ich probiere seit längerem eine Vektorrechnung zu lösen.
a) muss man mit dem Skalarprodukt den Winkel berechnen. Falls drei Winkel 90° sind, muss es ein Rechteck sein.
b) bin ich am "knorzen". Ich habe zwei Geradengleichungen aufgestellt und diese gleich gesetzt. Danach mit dem Gleichsetzungsverfahren auf eine unbekannte Variabel umgestellt und diese in den ersten Term eingesetzt und so die zweite unbekannte berechnet. Aber dies geht mir nicht auf.
hab ich den falschen Ansatz gewählt?
c) Anwenden vom Pythagoras.
Besten Dank für eure Hilfe.
Liebe Grüsse
Patewa
4 Antworten
Der Ansatz ist richtig.
Aber die X-Komponente des Vektors, den Du mit t multiplizierst, muss +2 sein (und nicht -2).
Übrigens ist t = r = 1/2, denn die Diagonalen schneiden sich genau in der Mitte. Das vereinfacht die Sache sehr.
a) Stimmt.
b) Das kann man so machen, ja. Beachte aber, dass du beim Richtungsvektor von der ersten Geraden Vorzeichenfehler gemacht hast.
Mit ein wenig Wissen in Geometrie kann man hier aber abkürzen: Der Schnittpunkt der Diagonalen in einem Rechteck liegt zwangsläufig in der Mitte von jeder beliebigen Diagonalen, also z.B. auf der Hälfte der Strecke von A nach C.
c) Schwierig zu sagen, ob dein Ansatz stimmt; wie exakt hast du dir das mit Pythagoras vorgestellt?
Zu c)
In deiner Skizze kann man erkennen: Grundseite des Dreiecks AB, Höhe 1/2 AD
Edit: Später rede ich zwar von Quadrat, aber meine eigentlich Rechteck.
Die Vorgehensweise ist aber haargenau Dieselbe!
zuerst müsstest du mal rausfinden welche Eckpunkte nebeneinander liegen.
(Falls man es nicht direkt sieht)
Dazu würde ich ganz einfach mal die Abstände vergleichen.
Du weißt ja dass es letztlich ein Quadrat werden soll.
Und bekanntlich ist die FDiagonale in einem Quadrat länger als jede der Seiten, nicht wahr? :-)
Also würde ich die Verbindungsvektoren von A zu jedem der anderen Punkte betrahcten, deren betrag angucken und gucke welche der Längste.
Jener Verbindungspunkt liegt dann gegenüber im Quadrat und die anderen 2 sind direkte Nachbarn von A.
im weiteren nehme ich einmal an dass du rausgefunden hast dass B und C die Nachbarn von A sind und D gegenüberliegt.
Ansonsten ist die Aufgabe recht leicht:
a)
Bestimme die Winkel zwischen zwischen AB BD, BD DC, DC CA, und CA AB
Musst halt von jeder Ecke aus die Vektoren entlang der 2 anliegenden Seiten bestimmen und den Winkel dazwischen bestimmen.
Was wahrshceinlich einfacher ist:
Zeigen dass alle 4 Seiten gleich lang sind und einer der Winkel 90° ist.
Denn: Sind die Seiten alle gleich, hast du automatisch schon ein parallelogramm. (glaube ich zumindest mal).
Wenn dann einer der Winkel 90° ist, sind es alle :-)
Also Seitenlängen berechnen und sehen dass sie gleich sind.
und, beispielsweise den Winkel zwischen AB und AC ausrechnen.
b) Hier solltest du etwas räumliches vortellungsvermögen haben:
der vektor von A zu D , also die eine diagonale, ist das selbe wie AB+BD.
(oder alternativ AC+CD).
die geradengleichung ist dann
OA+t*AD=OA+t*(AB+BD)
wobei OA einfahc der Ortsvektor von A sein soll. (sprich die gegebenen koordinaten).
gleichermassen ist die andere Diagonale von B nach C, also
BC=BA+AC
Also die Gerade
OB+s*BC=OB+s*(BA+AC)
Nun beide Geraden gleich setzen und den Schnittpunkt bestimmen.
Nun der einfachere Weg:
Du hast wie oben den vektor AD bestimmt.
Weil du weißt dass es ein Quadrat ist, liegt der Shcnittpunkt der Diagonalen auf der Hälfte der Diagonale.
Kannst also vom ursprung zu A und dann den halben Diagonalvektor gehen:
P=OA+0.5*AD
und hast direkt die Koordinaten des Schnittpunkts :-)
c) Nicht mal zwingend Pythagoras.
Wenn K der Punkt auf halber Strecke zwischen A und B ist, dann ist
AKS halb so groß wie ABS.
Und AKS lässt sich wiederum berechnen über
1/2*(1/2AB*1/2BD)
bzw. 1/8*AB*BD
im Übrigen ist AKS ähnlich zu ABD (dem diagonalendreieck).
seiten sind halb so lang wie bei ABD.