Diagonalenschnittpunkt eines Rechteck im drei dimensonalen Raum berechnen?
In der Aufgabe Nr. 2 muss man den diagonalen Schnittpunkt des Rechtecks ABCD bestimmen. Ich habe nun schon die Vektoren AC und BD bestimmt. Ich weiß aber nicht, wie ich jetzt weiter vorgehen soll. Kann mir da jemand bitte helfen? c:
4 Antworten
Hallo iProblem,
wir machen mal eine Zeichnung vom Rechteck ABCD.
Der Diagonalenschnittpunkt sei M in diesem Beispiel. Jetzt geht es also darum, diesen Schnittpunkt M mit Hilfe der Vektoren zu bestimmen. Im Grunde genommen geht es hier um eine einfache Vektoraddition. Wir wollen mit den Vektoren bis zu diesem Punkt M kommen. Wir können anfangen, wo wir wollen. Aber fangen wir einfach mal beim Punkt A an. Und noch zu erwähnen ist, dass wir die Punkte mit Ortsvektoren darstellen können:
Kannst du das nun ausrechnen ? Hilft dir das so weiter ?
Hallo iProblem,
,,Ich habe davor versucht den Punkt M mit 2 gleichgesetzten Geradengleichungen zu ermitteln, "
Was genau meinst du mit dem, was ich fett markiert habe ?
Die allgemeine Form für eine Ebenengleichung lautet ja:
E: r (lambda)= 0P + lambda1*a + lambda2*b
, wobei der Ortsvektor ist, der sozusagen als ein Stützvektor dient, und die beiden Lambdas skalieren die Spannvektoren. In unserem konkreten Fall haben wir die Lambdas jeweils mit 1/2 besetzt, weil wir nunmal die Hälfte einer Seite benötigt hatten. Allgemein übertragen auf unsere Gleichung hieße es dann:
E: M= 0A + lambda1*AB + lambda2*AD
Was genau meinst du mit dem, was ich fett markiert habe ?
Man könnte den Mittelpunkt auch als Schnittpunkt der beiden Geraden, die in deiner Zeichnung blau markiert sind, berechnen.
Ah so, das meint er damit. Ja, das geht natürlich auch. Da müsste man gleichsetzen.
Du hast vermutlich die Richtungsvektoren ausgerechnet,
Jetzt musst du nur noch die Geradengleichungen bilden:
Aufsetzvektor + r * Richtungsvektor
bzw. s bei der anderen Geraden
---
Wenn du es heraushast, setzt du einen Paramter auf r, den anderen auf s und rechnest mit zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten die Parameter aus.
Sie müssen dann auch noch auf die dritte Gleichung passen.
Wenn du mit einer Geraden den Punkt bestimmst, hast du den Schnittpunkt:
Parameter einsetzen!
Mit s kannst du dann noch die Probe mit der anderen Geraden machen. Es muss derselbe Punkt herauskommen.
--- ---
Wenn du wirklich ganz und gar nicht klarkommst, dann melde dich nochmal.
Ich komme leider nicht weiter, da ich in der zweiten Zeile 6r = 6s habe und das dadurch mit Zeile 1 und 3 nicht übereinstimmen kann.
Doch, das stimmt schon, denn
I 4r = 4 - 4s
II 6r = 6s
III 4r = 2
Wenn du andere Parametergleichungen hast, solltest du es
nochmal überprüfen oder mir schreiben.
Du gewinnst r am besten aus III: r = 1/2
Aus II siehst du: r = s = 1/2
Die Prüfung mit I ergibt Übereinstimmung.
Eingesetzt in eine der beiden Geraden AC oder BD kommst
du auf den Schnittpunkt: (2 | 3 | 2)
Jetzt solltest du jeweils eine Gerade durch A und C und eine durch B und D bestimmen. Die Richtungsvektoren AC und BD hast du ja schon ermittelt. Weißt du, wie man nun die beiden Gerade aufstellen kann?
4 - 4 0 4
(0) + r * (6) = (0) +s*(6)
2 2 0 4
Meinst du das damit?
M->AC=->a+1/2->AC
heißt (0/0/0)+1/2(4/6/4)=(2/3/2)=M
Hallo YanoMotoharu,
Ja danke, das hat mir geholfen und ich habe auch damit das richtige Ergebnis ausrechnen können. Ich habe davor versucht den Punkt M mit 2 gleichgesetzten Geradengleichungen zu ermitteln, ist das auch ein möglicher Weg, um M auszurechnen?