Verschiedene Winkel bei Gegenvektoren?

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3 Antworten

Ich beziehe mich auf Deinen Austausch mit Australia23.

Ja, Du hast richtig erkannt, dass Du in einem Dreieck (oder anderen Figuren) bei der Berechnung der Innenwinkel immer dafür sorgen musst, dass die betrachteten Vektoren von einem Punkt ausgehen (denn diesen Fall berechnest Du mit der Formel).

Man stellt ja bei einem Dreieck i.A. die Vektoren so auf, dass sie "im Kreis herum" laufen (vgl. meine Skizze). Wenn du also mit den Vektoren v und w arbeitest, würdest Du in diesem Fall den Außenwinkel γ' herausbekommen. Den Innenwinkel erhältst Du demnach mit dem Gegenvektor -w.

Wie Du an meinem Beispiel siehst, kann der Innenwinkel dabei durchaus größer als 90° sein.

Zur Sicherheit würde ich in einer solchen Aufgabe auch stets alle drei Winkel berechnen und dann zur Kontrolle die Summe bilden.
(Wenn Du Dir im Verfahren sicher bist, brauchst Du natürlich nur zwei Winkel mit dem Skalarprodukt zu berechnen und kannst den dritten über den Winkelsummensatz erhalten.)

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Zwei gekreuzte Vektoren erzeugen ja meist zwei verschiedene Winkel (ausser, wenn alle = 90°), welche zusammen 180° ergeben.

Kann es sein, dass z.B. nach dem kleineren Winkel gefragt ist, du aber den grösseren berechnet hast?

In diesem Fall kannst du einfach folgendes rechnen: 180° - *grösserer Winkel* = *kleinerer Winkel*

Wenn ich mich recht erinnere, kannst du um immer "direkt" auf den kleineren Winkel zu kommen, jeweils den Betrag des Skalarprodukts nehmen, also:

cos(*kleinerer Winkel*) = | a * b | / ( |a| |b| ), a & b sind Vektoren

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Kommentar von LiseAnne
05.08.2016, 19:04

Es handelte sich bei der Aufgabe um ein Dreieck und es waren die Innenwinkel gesucht. Das heißt, ich muss immer jeweils die Vektoren verwenden, die vom Punkt, an dem sich der Winkel befindet, "weggehen", um den kleineren Winkel zu erhalten? Also wenn Winkel Alpha am Punkt A gesucht ist, Vektor AB und AC?

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Drehst du einen Vektor rum, dann hast du statt alpha den Winkel -alpha, und es ist cos(Alpha) = - cos(180-alpha), also passt alles

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Kommentar von LiseAnne
05.08.2016, 18:49

Also darf ich für cos(alpha) nur positive werte einsetzen?

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Kommentar von lks72
05.08.2016, 18:50

ähm, nein, aber wenn du für den Vektor a den Gegenvektor -a nimmst, dann änderst du das Vorzeichen, aber durch den anderen Winkel wird das wieder geändert.

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Kommentar von lks72
06.08.2016, 07:33

hab mich in meiner Antwort aber verschrieben, es soll heißen: ... hast du statt alpha den Winkel 180 - alpha

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