Skalarprodukt unterschiedliche Dimensionen?
Kann ich ein Skalarprodukt berechnen aus einem dreidimensionalen Vektor und einem zweidimensionalen Vektor?
Könnte man dazu den zweidimensionalen Vektor zu einem dreidimensionalen umformen indem die z-Richtung (3. Dimension) eine 0 ist?
4 Antworten
Auch wenn die Frage schon ziemlich alt ist, rein mathematisch gibt es kein Skalarprodukt von unterschiedlich dimensionierten Vektoren. Aus welcher Problemstellung kommt also die Frage?
Aber, prinzipiell gibt es eine Möglichkeit, zwei unterschiedlich dimensionierte Vektoren miteinander zu multiplizieren! Das Dumme ist nur: das Ergebnis ist kein Skalar und kein Vektor, sondern eine Matrix.
Aber der Reihe nach.
Vektoren sind eigentlich nichts anderes als (nx1)-Matritzen.
z.B.: (1 (4
2 * 5
3) 6)
Solche Matritzen lassen sich aber so nicht multiplizieren. Um das Produkt von zwei Matritzen M1 und M2 zu bestimmen, muss M1 eine (axb)-Matrix und M2 (bxc)-Matrix sein (wobei a,b und c auch gleich sein können). z.B.:
M1 (4x2) = ( 1 2 M2 (2x3) = (1 2 3
3 4 4 5 6)
5 6
7 8)
dann ist das Ergebnis eine (4x3) Matrix mit
M12 = (1*1+2*4 1*2+2*5 1*3+2*6
3*1+4*4 3*2+4*5 3*3+4*6
5*1+6*4 5*2+6*5 5*3+6*6
7*1+8*4 7*2+8*5 7*3+8*6)
Um also zwei Vektoren - sprich (nx1)-Matrizen - miteinander zu multiplizieren, muss ich einen davon transponieren.
Das Skalarprodukt ist jetzt eigentlich nichts Anderes als das Matrix-Produkt von einer (1xn)-Matrix mit einer(nx1)-Matrix. Das Ergebnis ist dann eine (1x1)-Matrix. Ich transponiere also den ersten Vektor.
Solange ich nur mit Vektoren der gleichen Dimensionalität operiere, wird der ganze Überbau (wie z.B. ich transponiere den ersten Vektor des Produktes - mache also aus einer (nx1)-Matrix eine (1xn)-Matrix, damit die Multiplikation auch funktioniert) weg gelassen und ich behandele nur die reine Rechnung.
Man könnte natürlich auch statt des ersten Vektors den 2. Vektor transponieren.
Dann multipliziere ich eine (nx1)-Matrix mit einer (1xn)-Matrix. Das Ergebnis ist jetzt eine (nxn)-Matrix.
Und diese Operation lässt sich natürlich auch auf (nx1)*(1xm) anwenden. Und dann bekomme ich eine (nxm)-Matrix.
So weit die mathematisch korrekte Verfahrensweise. Aber anscheinend war ja das Ziel, einen Skalar aus zwei unterschiedlich dimensionierten Vektoren zu bekommen.
Einfach eine 0 dran zu hängen, wie vermutet, ist aber nicht korrekt, denn es stellt sich ja die Frage, welche der Dimensionen fehlt.
Um aus einem 2-dimensionalen Vektor (a b) einen 3-dimensionalen zu machen, gibt es drei Möglichkeiten:
(a b 0) oder (a 0 b) oder (0 a b). Und ja nach Wahl fällt das Ergebnis des Skalarproduktes mit einem 3-dimensionalen Vektor dann anders aus.
Na dann, fröhliches Knobeln. :-)
Hallo,
das geht nicht.
Aber Du kannst dem zweidimensionalen Vektor als dritte Komponente eine 0 hinzufügen, dann funktioniert es.
Herzliche Grüße,
Willy
Vektoren mit unterschiedlichen Dimensionen lassen sich NICHT multiplizieren. Gibt zwar nen kleinen Trick wie man das mit dem Matrizenprodukt hinbekommt aber generell geht das nicht.
LG
Das kommt auf die Aufgabe an. Ich glaube hardcore Mathematiker würden da aus verschiedenen Gründen die Kriese bekommen wenn du das tun würdest aber ich glaube für Schul-Mathematik sollte das kein Problem sein. Am besten Lehrer/Lehrerin fragen ob du das darfst.
LG
okay danke dann werde ich das wohl lieber nicht machen. Ist fürs Studium :/
Ich soll eine 3x2 Matrize mit einem 2d Vektor multiplizieren und dann bekomme ich einen 3d Vektor heraus. Aus diesem 3d Vektor und dem 2d Vektor aus der Rechnung davor, soll ich dann ein Skalarprodukt berechnen (falls definiert). Aber hier scheint es dann ein Fall zu sein, der nicht definiert ist.
Könnte man dazu den zweidimensionalen Vektor zu einem dreidimensionalen umformen indem die z-Richtung (3. Dimension) eine 0 ist?
Ja, das ginge.
auch nicht, wenn ich die z Komponente einfach 0 setzen würde? dann wäre der 2d Vektor ja praktisch ein 3d Vektor. Oder darf man das nicht so einfach?