Koordinatengleichung: Woher weiß ich die Dezimalzahl hinter dem "=" (Mathe: Analytische Geometrie)
Wenn ich eine Koordinatengleichung einer Ebene im dreidimensionalen Raum aufstellen soll habe ich immer überhaupt keinen Plan, wie ich die rechte Seite der Gleichung finde!???
Also links kommt (xyz)*Normalenvektor und rechts vom = dann eine Zahl. Aber welche??????
Zb die Aufgabe: "Gesucht ist eine Koordinatengleichung der beschriebenen Ebene - Die Ebene hat die Achsenabschnitte x=4, y=2, z=6"
Um den Normalenvektor rauszufinden und dann die Koordinatengleichung aufstellen zu können, bräuchte ich diese Zahl, damit ich dann 12 durch 4 und 2 und 6 teilen kann, damit ich die Werte erhalte, die ich in der Koordinatengleichung brauch. Nämlich a b und c von E: ax + by + cz = ?
In den Lösungen steht E: 3x + 6y + 2z = 12
3 Antworten
Mit der Angabe der Achsenabschnitte hast Du drei Punkte der Ebene: p_x = (4; 0; 0), usw. Daraus bestimmst Du zwei Richtungsvektoren, z.B. v₁ = p_y - p_x, v₂ = p_z - p_x.
Eine Normale (a; b; c) steht senkrecht auf v₁ und v₂. Kannst Du eine berechnen? Dann hast Du E: ax + by + cz = d, und nur d fehlt. Setze dazu einfach irgendeinen Punkt der Ebene ein. Zur Kontrolle kannst Du alle drei gegebenen Punkte nacheinander einsetzen; für d sollte immer der gleiche Wert herauskommen.
ah! Also hole ich mir die Punkte aus den Achsenabschnitten und bilde dann eine Parametergleichung (bzw. nur die Richtungsvektoren). Aus den RVs bilde ich dann das Kreuzprodukt (ja ich kann das berechnen). Und dann kann ich ja eine Normalengleichung mit dem ursprünglichen Ortsvektor und dem berechneten Normalenvektor aufstellen. Und ich weiß, wie ich von der Normalengleichung in die Koordinatengleichung komme! Also perfekt! danke!
Ich hätte nicht gedacht, dass das so umständlich ist^^ Erst mal durch zwei andere Formen durchzumüssen. Aber macht ja Sinn.
Mit den gegebenen Achsenabschnitten lautet die Gleichung der Ebene
in Achsenabschnittsform: x/4 + y/2 + z/6 = 1 oder 3x + 6y + 2z = 12
rechts vom Gleichheitszeichen steht das Skalarprodukt von
Stützvektor * Normalenvektor
ok also muss ich nicht wirklich in die Normalenform gehen (siehe meinen Kommentar an ralphdieter) , sondern kann einfach gleich den Punkt einsetzen.....Ja ist auch logisch^^ Danke!
du hast die Punkte A(4,0,0) B(0,2,0) C(0,0,6)
damit kannst du die Parameterform A + r(B-A) + s(C-A) aufstellen;
jetzt mit (B-A) x (C-A) den Normalenvktor n=(12,24,8)
gekürzt n=(3,6,2) bilden.
also 3x+6y+2z=d und jetzt d ermitteln mit (4,0,0) * (3,6,2) = 12