Kann man nach einem abgeschlossenem Chemie-Studium noch Biochemie oder Pharmazie studieren?

Das geht zwar prinzipiell, ist aber nicht einfach. Es gibt bei zulassungsbeschränkten Studiengängen (die genannten gehören dazu) feste Bestimmungen für sog. Zweitstudien. Man muss hierfür eine überzeugende Begründung liefern (z.B. dass man erst mit beiden Studiengängen einen bestimmten Beruf ausüben kann oder dass man etwa aufgrund eines Unfalls nicht mehr als Sportlehrer arbeiten kann und das entsprechende Studium daher nicht mehr gebrauchen kann). Außerdem sind nur wenige Prozent der Studienplätze für solche Zweitstudien reserviert. Falls Du noch vor einem Erststudium stehst, wird es m.E. besser sein, Du wählst jetzt schon das für dich am ehesten infrage kommende Studium aus. Es wäre zu unsicher, sich auf ein späteres Zweitstudium zu verlassen.

Natürlich, es gibt rein formal keine Begrenzungen über die Anzahl der Hochschulabschlüsse, die man erwerben kann.

Die Frage ist aber, wenn ich mal auf die Chemie und Biochemie schaue, ob da nicht möglicherweise eine Kombination aus Chemie-Bachelor und Biochemie-Master sinnvoller wäre, als zwei getrennte Bachelor-Studiengänge.

Wenn man sich auf ein Zweitstudium bewirbt, dann gelten auch in der Regel nochmal etwas andere Bewerbungsmodalitäten und man muss die Notwendigkeit manchmal noch schriftlich begründen (was aber durchaus zu schaffen ist).

Der Vorteil ist, dass man sich bei zwei ähnlichen Studiengängen die sich überschneidenden Inhalte und Prüfungsleistungen anerkennen lassen kann.

Du kannst im Prinzip dein ganzes Leben lang studieren, wenn du dir das finanziell leisten kannst.
Und es hängt natürlich immer vom Studienfach ab, ob und wann du einen Studienplatz bekommst.

Ja. Pharmazie machen tatsächlich auch einige nach dem Chemie-Bachelor, weil dort zur Zeit die Berufsaussichten besser scheinen.

Biochemie nach Chemie macht eher weniger Sinn. Das Fach ist sowieso am Arbeitsmarkt nicht sehr gefragt.

Du kannst weiter studieren, wenn Du einen entsprechenden Studienplatz bekommst!