Kann ich aus jeder irrationalen nicht transzendenten Zahl √n zum Beispiel √12 statt 3×√2 eine Summe a+√b finden wobei a eine rationale oder ganze Zahl ist?
3 Antworten
Nein. Klassischer Fall für einen Widerspruchsbeweis:
Angenommen, es gibt rationale Zahlen a und b mit a ungleich 0 und
Dann kann ich das umstellen zu
quadrieren
Weil a nicht Null ist, kannst du das umformen zu
Links steht was irrationales, rechts was rationales - geht also nicht.
Und b eine ganze Zahl, wie aus der etwas wirren Antwort auf HellasPlanitia um 09:41:37 hervor geht. Insofern passt es.
Wenn b eine irrationale Zahl sein darf, dann ist das trivialerweise immer möglich. Dann kann ich z. B. a = -1 setzen und alles weitere ergibt sich.
Ja, du kannst immer a = 0 setzen. 0 ist eine ganze Zahl. Ansonsten kannst du auch jedes beliebige andere ganzzahlige oder rationale a nehmen, das kleiner ist als die Wurzel aus n.
sag mal √12=a+√b
a ist ungleich Null, Mensch sonst macht dich für Frage auch keinen und jede Zahl geht nicht darfst geht auch nicht da nur Wurzeln wie √2, √3, √4, √5 verwenden
Wenn a ungleich Null und b ebenfalls ganzzahlig oder rational sein soll, dann geht das nicht mehr. Diese Bedingungen waren aus deiner Frage aber nicht rauszulesen.
und am besten wäre es natürlich wenn a nur ganzzahlig ist. 🙃
Die Frage ist für mich zu unpräzise gestellt.
Zu einer Zahl n (aus den natürlichen Zahlen) suchst du rationale Zahlen a, b, so dass Wurzel (n) = a + Wurzel(b) ist?
Erstmal würde ich den uninteressanten Fall a=0, b=n auschließen, der ist nämlich langweilig. ;-) Also sei a ungleich 0.
Zu beachten ist noch, dass nicht unbedingt b<n gelten muss, da a auch negativ sein kann.
Umschreiben als Wurzel(n) - Wurzel(b) = a. Quadrieren auf beiden Seiten, dann haben wir
oder
Nach Voraussetzung ist die linke Seite rational. Also ist auch die rechte Seite rational. Also muss b*n das Quadrat einer rationalen Zahl sein; nennen wir die mal m. Wir können aus m und n einfach b ausrechnen: b*n=m^2, damit b=m^2/n. Damit...
Damit kannst du nun a ausrechnen:
Oder
oder
Da a rational ist und n und m ebenfalls rational sind, muss Wurzel(n) rational sein, d.h. n ist eine Quadratzahl, damit das lösbar ist.
Für Quadratzahlen n vereinfacht sich deine Ausgangsgleichung ganz erheblich. Den Rest überlasse ich dir als Übungsaufgabe!
Wie sieht das aus wenn b eine irrationale zahl ist?
Dein beweis hat eine bedingung zuviel. Nur a soll ja eine rational zahl sein.