Frage von Fable67, 85

Ist die Summe aus einer irrationalen Zahl und noch einer irrationalen Zahl immer irrational?

Hallo Leute, ich hatte heute in der Mathearbeit eine Aufgabe die wie in der Überschrift hieß. Ich bitte um einen Nachweis oder eine Widerlegung. MATHEMATISCH!!

Antwort
von YStoll, 44

MATHEMATISCH!!

In der Mathematik spricht man nicht vom "Nachweis" sondern vom "Beweis".

Nachweise gibt es in empirischen Wissenschaften, also beispielsweise den Naturwissenschaften. Damit kannst du Theorien belegen sodass sie fast(!) als Tatsachen angenommen werden können (falls es genug Belege gibt / diese aussagekräftig genug sind).
Wenn du etwas beweist ist es jedoch unumstößlich wahr. Es kann keinen Zweifel an der Richtigkeit geben.

Der Unterschied zwischen Nachweisen /Belegen und Beweisen wird häufig gemacht, meist jedoch genau andersherum.

Deine eigentliche Frage wurde ja schon beantwortet.

Antwort
von FuHuFu, 44

Nein

Betrachte X1 = +SQRT(2)                   <-- das heisst Wurzel aus 2
         und X2 =  -SQRT(2)

X1 und X2 sind irrational aber X1 + X2 = 0 und damit rational

Antwort
von kreisfoermig, 41

Vorweg: fast jeder hier schon (fast) denselben Einwand gegeben. Insofern reicht das aus. Ich ergänze diese lediglich, um einen möglichst allgemeinen Beweis darzustellen.

In ℚ´ scheitern beide der folgenden Eigenschaften:

  • ∀x,y ∈ ℚ´: x+y ∈ ℚ´
  • ∀x,y ∈ ℚ´: x+y ∉ ℚ´

Zur Widerlegung der ersten Aussage: sei x ∈ ℚ´ beliebig (ℚ´≠Ø, also ist dies möglich) und sei y := -x. Dann gilt y ∈ ℚ´ (sonst wären –1, y ∈ ℚ und somit x = -1·y ∈ ℚ—Widerspruch!). Also gilt x, y ∈ ℚ´, jedoch x+y = x+-x = 0 ∉ ℚ´. 

Zur Widerlegung der zweiten Aussage: sei x ∈ ℚ´ beliebig (ℚ´≠Ø, also ist dies möglich) und sei y := x. Dann gilt x, y ∈ ℚ´, und x+y = 2x ∈ ℚ´, (da sonst ½, 2x ∈ ℚ und damit x = ½·(2x) ∈ ℚ—Widerspruch!).

Dieselben Eigenschaften scheitern für Multiplikation und Potenzieren (schwierigerer Beweis).

Kommentar von Fable67 ,

Eine Frage nochmal kannst du mir erklären was dieses E und dieses A bedeuten?

Kommentar von kreisfoermig ,

»x ∈ M« steht für »das Objekt x gehört zur Menge M«.

»∀ x ∈ M: bla« steht für »für alle x in M gilt bla«.

»∀ x,y ∈ M: bla« steht für »für alle x und y M gilt bla«.

Etc.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 52

Nein. Der Beweis ist simpel durch ein Gegenbeispiel angestellt:

-π + π = 0

0 ist rational, π und -π irrational.

Antwort
von Schachpapa, 52

Nein. Beweis durch ein Gegenbeispiel

Rationale Zahlen sind in der Dezimaldarstellung entweder abbrechend oder periodisch, irrationale Zahlen nicht.

Nimm die irrationale Zahl a = Wurzel(2) = 1.414213.... die Zahl b=2-a=0.585786... ist ebenfalls nicht periodisch oder abbrechend.

Die Summe aus a+b = 2 ist rational.   

Kommentar von lebaws1 ,

müsstest du hier nicht noch den beweis erbringen, dass b irrational ist?

Kommentar von Suboptimierer ,

Bei so etwas kommt es immer darauf an, welche Sätze als gegeben angenommen werden dürfen. Theoretisch müsste man sogar noch zeigen, dass Wurzel(2) irrational ist und das 2 rational ist.

Kommentar von kreisfoermig ,

Klar, aber das ist so offensichtlich. Er setzte b = 2–a. Wenn b ∈ ℚ, so gölte a = 2–b ∈ ℚ. Widerspruch! Darum gilt b ∈ ℝ \ ℚ = ℚ´.

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