Ist 0,999… = 1?

Also eigentlich weiß ich, dass es das Gleiche ist, aber ich will eine coole Diskussion sehen.

Answer 1

[Willibergi]

Es ist

$0{,}\overline 9$ $\displaystyle = 0 + 0{,}9 + 0{,}09 + \cdots$ $\displaystyle = 0+\frac{9}{10} + \frac{9}{100}+\cdots$ $= \displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k}$ $\displaystyle = \lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^N \frac{9}{10^k}$ $=1$

wobei man die letzte Gleichheit wie folgt einsieht: Für beliebiges natürliches N ist

$\displaystyle \sum_{k=1}^N \frac{9}{10^k} = 9 \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{10}\right)^k$

und man erkennt rechts das Muster einer geometrischen Summe. Bekanntlich gilt für reelle q mit |q| < 1 die Formel

$\displaystyle \sum_{k=0}^N q^k = \frac{1-q^{N+1}}{1-q}$

und setzt diese oben ein, erhält man (man beachte den Summenindex)

$\displaystyle 9 \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{10}\right)^k$

$\displaystyle = 9 \left(\frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{N+1}}{\frac{9}{10}} - 1\right)$

wobei für N gegen unendlich (und das interessiert uns ja eigentlich) die obere Potenz verschwindet und im Grenzwert

$\displaystyle \xrightarrow{N\to\infty} 9 \left(\frac{1}{\frac{9}{10}} - 1\right) = 1$

übrig bleibt. Q.E.D.

Das Resultat ist von mathematischen Standpunkt aus auch nicht diskussionswürdig. Solche Diskussionen bestehen üblicherweise immer aus einem Hobbymathematiker und einem Mathematiker, wobei der Hobbymathematiker natürlich felsenfest davon überzeugt ist, dass eine Zahl keine zwei Darstellungen haben kann und der Mathematiker irgendwann aufgibt.

Eher könnte man über Grenzwertprozesse und Epsilontik diskutieren - darüber, ob die Definition von Reihen (= unendliche Summen) als Grenzwert von Partialsummen sinnvoll ist.

• Ist es sinnvoll, dass es unendliche Summen gibt, deren Wert als einer definiert ist, denn sie nie annimmt?
• Könnte man einen sinnvollen Zahlenraum definieren, in dem zwischen 0,999… und 1 doch eine "unendlich kleine" Zahl liegt?
• Ist es notwendig, dass die b-adische Darstellung nicht eindeutig ist oder ließe sich das lösen?
• Braucht man den Periodenstrich überhaupt, könnte man ohne ihn auskommen?

Fakt ist aber 0,999… = 1 strikt per Definition der Periode.

Comments

[vol08122001]

Ich fasse zusammen: 0,999999999...=1 mathematisch gesehen

[louis470]

Bin begeistert! Als ich das aus Spaß selber mal beweisen wollte habe ich es genau so gemacht. Vielen Dank!

Answer 2

[daCypher]

$0.\overline{9}\ =9\cdot\frac{1}{9}=\frac{9}{9}=1$

Details kannst du dir auf Wikipedia durchlesen.

Answer 3

[physikfrage1]

In den reellen Zahlen stimmts, da ist 0,999... = 1, aber allgemein nicht. Man könnte natürlich ein bisschen spitzfinderisch sein, und als Gegenbeispiel die Hexadezimalzahlen nennen. Es gibt aber auch andere Zahlenbereiche wo es unendlich kleine Zahlen gibt die nicht 0 sind, zum Beispiel die hyperreellen Zahlen. In solchen Bereichen gibt es dann auch keine Gleichheit. Also gilt die Aussage allgemein nicht

Comments

[louis470]

Ja, ich weiß. Mit Einbezug der hyperreellen zahlen gibt es eine "Differenz" die aber so gesehen unendlich klein ist.

Answer 4

[Erklaerbaer73]

klar, da gibt es auch nichts zu diskutieren. Aber manchmal trotzdem "lustig" (oder erschreckend?), die "Gegenargumente" zu lesen

Comments

[louis470]

haha, ja

Answer 5

[Peterwefer]

Das kommt auf die Genauigkeitsanforderungen an. Wenn ich 1 l einer Chemikalie im Becherglas zu nehmen habe, kommt es auf 10 ml nicht an. Soll ich einen Messkolben verwenden, ist bereits eine Abweichung von 0,1 ml zu viel. In der Fachwelt wird hier von Toleranzgrenzen gesprochen. Hilft Dir die Antwort?

Comments

[louis470]

Die 9 soll periodisch sein.

[Peterwefer]

@louis470

Nun, doof ist, dass man unendlich viele Neunen theoretisch setzen kann, aber praktisch gibt es sie nicht.

[louis470]

@Peterwefer

Darum geht es nicht. Du kannst auch praktisch nicht einen Liter abfüllen. Das hier ist eine rein mathematische Frage.