Bedingungen, damit zwei Vektoren gleich sind - Was ist richtig(er)?
Hallo,
Wir hatten heute im Matheunterricht eine ausgedehnte Diskussion über die Definition von gleichen Vektoren. Wir sind uns ja alle einig, dass zwei der drei Eigenschaften, die gelten, wenn zwei Vektoren gleich sind, die gleiche Orientierung und die gleiche Länge sind. Bei der dritten Eigenschaft kam dann die Diskussion auf:
"Gleiche Richtung oder parallel zueinander?"
Ich habe gemeint, dass das dasselbe ist, wenn man "Richtung" im Sinne einer Kompassnadel versteht. Sind zwei Vektoren parallel zueinander, würden die Kompassnadeln (wenn man sie am Ursprungspunkt platzieren würde) in die gleiche Richtung zeigen.
Unser Mathelehrer versteht "Richtung" allerdings anders. Wenn man z.B. einen Vektor hat, der im 3. Quadranten eines Koordinatensystems liegt und der auf den Ursprung zeigt, ist er parallel zu einem anderen (gleichen) Vektor, der sich über diesem befindet, unserem Mathelehrer nach hat er dann aber eine andere Richtung. Nach der "Kompassnadel"-Definition aber schon.
Was haltet ihr von dieser Debatte? Zumal unser Ex-Mathelehrer uns letztes Jahr die Definition mit der Richtung gegeben hat.
9 Antworten
Ich habe gemeint, dass das dasselbe ist, wenn man "Richtung" im Sinne einer Kompassnadel versteht.
Im Kontext von R^n hast du absolut Recht! Die dritte Eigenschaft wird komplett überflüssig - und das in erster Linie aus dem Grund, weil Vektoren nicht parallel sein können, weil sie KEINE Geraden sind, sondern lediglich die Richtung angeben. Die angegebene Richtung und die Länge definieren einen Vektor eindeutig.
Unser Mathelehrer versteht "Richtung" allerdings anders. Wenn man z.B. einen Vektor hat, der im 3. Quadranten eines Koordinatensystems liegt und der auf den Ursprung zeigt, ist er parallel zu einem anderen (gleichen) Vektor
dein Mathelehrer liegt vollkommen falsch! Ein Vektor kann nämlich NICHT von einem beliebigen Punkt ausgehen und in einem beliebigen Punkt enden. Ein Vektor geht IMMER vom Ursprung heraus. Die Koordinaten eines Vektors sind nämlich immer die Koordinaten bezüglich des Ursprunges.
Ein Vektor geht von gar keinem Punkt bzw. von allen Punkten aus
Ich habe eben geschrieben, dass Vektoren lediglich die Richtung angeben. Aber wenn dir ein Vektor gegeben ist, dann kannst du ihn immer einzeichnen, ohne zu Fragen, aus welchem Punkt dies erfolgen soll - und zwar tut man dies immer aus dem Ursprung in die Richtung des jeweiligen Punktes heraus. Damit könnte man im übertragenen Sinne sehr wohl sagen, dass Vektoren (für sich alleine) immer vom Ursprung ausgehen. Man könnte auch sagen, dass jeder Vektor einen Punkt des Koordinatensystems angibt. Es sind nämlich Parallelen in der Interpretation nach jeweligem Kontext. Aber bei all diesen Interpretationen ist jeder Vektor allein durch die ersten zwei Eigenschaften eindeutig definiert. Die Aussage des Lehrers ist damit falsch.
Man benötigt neben der Richtung (Parallelität!) dennoch noch die Orientierung, um einen Vektor eindeutig zu bestimmen. Der Vektor (1|0|0) ist unterschiedlich zu (-1|0|0), obwohl beide gleich lang sind und die gleiche Richtung haben (parallel sind). Entschuldige die Punktschreibweise für die Vektoren, aber horizontal krieg ich hier nicht hin ;)
Ein Beispiel für alle Zweifler:
Wenn ich den Vektor v=(1,3,5) angebe, in welche Richtung zeigt er dann? Es ist wohl eindeutig, dass er in die Richtung des Punktes (1,3,5) ausgehend vom Urpsrung zeigt, und nicht in die Richtung (1,3,5) ausgehend von jedem anderen beliebigen Punkt. Sonst könnte man mit Vektoren absolut NICHTS anfangen.
Parallel sein und in die gleiche Richtung zeigen sind zwei verschiedene Charakteristiken, die man nicht verwechseln sollte. Benutzt man die Pfeile bei Vektoren, welche gerade die Richtung angeben, etwa umsonst?
Wenn ich einen Punkt P1(2|2|2) und einen Punkt P2(5|5|5) habe, dann ist der Vektor P1P2=(3|3|3). Dabei setzt er im Punkt P1 an. Ein Vektor an sich kann also an jedem Punkt ansetzen, nicht nur am Ursprung.
Noch einmal ganz genau: Ein Vektor ist eindeutig bestimmt durch 3 Eigenschaften:
1.) Die Länge (Betrag des Vektors)
2.) Die Richtung (Strich des Vektors)
3.) Die Orientierung (Spitze des Vektors)
Die Richtung bezieht sich damit nur auf die Parallelität, nicht darauf, ob zwei Vektoren gleichgerichtet sind.
Dabei setzt er im Punkt P1 an
weil du sie addierst. Für sich alleine betrachtet gibt jeder Vektor aber immer die Richtung seiner Koordinaten ausgehend vom Ursprung an. Und das hast du mit einem der beiden Vektoren getan. Der Vektor (3,3,3), der als Ergebnis rauskommt, ist wiederum ein Vektor, der in die Richtung des Punkten (3,3,3) zeigt, ausgehend vom Ursprung, und nicht etwa von einem anderen Punkt.
Jetzt verstehe ich, was du meinst!
Das ist glaub ich Interpratationssache und einer der verschiedenen "Glaubenskriege" in der Wissenschaft. Beide Interpretationen können parallel existieren, ohne sich gegenseitig auszuschließen. Von daher denke ich, dass beide Meinungen (Vektoren gehen setzen am Ursprung an vs. Vektoren können überall ansetzen) berechtigt sind.
Man kann ja auch einerseits sagen, ein Vektor v setzt im Punkt P an oder aber der Punkt P wird erst in den Vektor p umgewandelt und dann mit v addiert. Kommt im Prinzip das Gleiche bei raus.
Könnte es möglich sein, dass wir aneinander vorbei argumentieren.
Ich versuche aufzuzeigen, dass alleine die Richtung, und der Betrag eines Vektors ausreichend für seine eindeutige Charakterisierung sind. Dabei halte ich die Orientierung für überflüssig.
Die Richtung bezieht sich damit nur auf die Parallelität, nicht darauf, ob zwei Vektoren gleichgerichtet sind.
damit meinst du wohl die Orientierung.
Hmm... gut möglich, denn soweit ich weiß, ist die Orientierung mathematisch gesehen nicht in der Richtung enthalten, auch wenn dies beim allgemeinen Gebrauch von Richtung anders ist.
Schön. Damit haben wir aber die Ausgangsfrage immer noch nicht geklärt.
Was ist für eine eindeutige Charakterisierung eines Vektors ausreichend?
Ich halte die Orientierung für überflüssig. Denn bei Angabe seiner Richtung (Pfeil) und Länge lässt sich der Vektor eindeutig angeben.
Ehrlich gesagt, habe ich von Anfang an Richtung und Orientierung gleichgesetzt, gemeint habe ich aber die Richtung.
Allgemein stimmt das, aber mathematisch gesehen besteht ein Unterschied zwischen Richtung und Orientierung.
Ich glaube aber inzwischen zu verstehen, dass in der Frage gemeint ist, der Lehrer würde behaupten, zwei Vektoren, die an unterschiedlichen Punkten ansetzen und ansonsten gleich sind, wären ungleich. In dem Fall hat der Lehrer natürlich unrecht.
Ich sehe schon, ich hab damit ne ziemliche Diskussion ins Rollen gebracht. :D
Die ursprüngliche Frage war, ob die dritte Eigenschaft von Vektoren die Richtung, oder die Parallelität ist (und ob das bei Vektoren überhaupt Sinn macht).
Aber wenn ihr behauptet, dass diese dritte Eigenschaft überflussig ist, wieso steht das dann in allen Mathebüchern/auf allen Websites?
Richtig! Denn es spielt absolut keine Rolle, wo man einen Vektor ansetzt. Seine Richtung ist durch die Angabe seiner n Koeffizienten (Koordinaten) eindeutig festgelegt - unabhängig davon, wie man von diesem Vektor Gebrauch macht.
@TheMrDJJ
Damit wir einander besser verstehen, schlage ich vor, dass wir auch gemeinsame Begrifflichkeiten benutzen.
Unter Orientierung verstehe ich, dass ein Vektor auf einer parallelen Geraden liegt, unabhängig von seiner Richtung.
Mit Richtung verstehe ich die eindeutig gewählte Richtung eines Vektors, die mit einem Pfeil charakterisiert wird.
Sind wir uns über die beiden Begriffe einig?
In diesem Fall stellt die Orientierung eine überflüssige Charakteristik dar. Die Angabe der Länge und der RIchtung eines Vektors wären damit für eine eindeutige Beschreibung dieses Vektors vollkommen ausreichend.
Das liegt an der mathematischen Definition der Eigenschaften. Wie ich bereits beschrieben habe, wenn man sich einen Vektor als Pfeil vorstellt, bezeichnet die Länge den Betrag des Vektors, die Richtung den Strich und die Orientierung die Pfeilspitze.
Mathematisch gesehen haben die Vektoren v1=(1/1/1) und v2=(-1/-1/-1) die gleiche Richtung. Wenn man sich die Vektoren im Koordinatensystem anschaut, ist das auch relativ einleuchtend. Die beiden Vektoren unterscheiden sich aber in ihrer Orientierung.
Aus diesem Grund findest du überall diese drei Eigenschaften von Vektoren.
Leider steht in den Antworten ziemlich viel Unsinn, vor allem die Behauptung, Vektoren würden "immer vom Ursprung" ausgehen, zeigt, dass das Konzept des Vektors im Prinzip nicht verstanden wurde! Ein Vektor ist eine Verschiebung im Raum und nicht ein Pfeil auf einem Blatt Papier (manchmal spricht man auch von Pfeilklasse). Man sollte eben nicht zu viel an die zeichnerische Krücke hängen, schließlich sind Vektoren auch in höherdimensionalen Räumen definiert und die kann man gar nicht zeichnen. In Bezug auf die Frage reicht es zu sagen, dass zwei Vektoren gleich sind, wenn sie die gleichen Komponenten haben und dann sind Vektoren gleichen Betrags, gleicher Richtung, aber gegensätzlicher Orientierung natürlich nicht gleich, wie jedermann leicht feststellen kann, wenn er versucht durch Ziehen eine Tür zu öffnen, auf der "Drücken" steht!
An der entscheidenden Stelle verstehe ich die Beschreibung der Meinung deines Lehrers leider nicht. Könntest du das bitte noch einmal genauer beschreiben? Was bedeutet denn 'über'? Man darf einen Vektor doch sowieso verschieben, entlang seiner Kraftwirkungslinie. So wie ich das verstanden habe, sind 2 Vektoren nicht gleich, wenn sie zwar gleich lang und parallel sind, aber ihre Pfeilspitzen in die entgegengesetzte Richtung zeigen. Sie haben dann die gleiche Richtung, aber die entgegengesetzte Orientierung.
Also, in dem Buch Analytische Geometrie in vektorieller Darstellung aus dem Diesterweg-Verlag ist die Defnition wie folgt: Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen.
Irgendwie habt Ihr das Wesen eines Vektors generell nicht verstanden.
Ein Vektor "befindet" sich nicht irgendwo, er besteht nur aus Richtung und Betrag ("Länge").
Deswegen ist die Relation "parallel" nicht sinnvoll auf Vektoren anwendbar.
Ich verstehe deine Erläuterung nicht. Aber gemäß Schulmathematik sind zwei Vektoren gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind. Damit ihre Länge und ihre Richtung. Ich wüsste nicht, was man da noch diskutieren sollte.
Siehe beim obigen Link:
Dort steht bei der Definition folgendes: - Länge - Richtung - UND Orientierung
Die Frage ist, ob "parallel" besser oder schlechter als "gleichgerichtet" ist. Und ob parallel bei Vektoren überhaupt Sinn macht.
Ach, ihr versucht, die Gleichheit noch an den "Pfeilen" zu charakterisieren. Also parallel macht bei Vektoren durchaus Sinn. Aber das reicht nicht. Gleichgerichtet ist hingegen korrekt. Stell dir mal eine Armee im Marsch vor. Alle laufen in die gleiche Richtung. Das heißt jedoch nicht, dass sie auf den selben Punkt zulaufen; sonst würden sie ja immer weiter zusammenrücken ;-)
Gutes Beispiel! Das werd ich ihm mal vorsetzen. Mein Kompassnadeln-Beispiel hat er wohl nicht so ganz gecheckt.
Es macht aber durchaus einen Unterschied, ob die Soldaten in die gleiche Richtung laufen oder sich entgegenkommen (Bei ersterem sind alle von einer Armee, bei letzterem von verfeindeten ;) ) Das ist mit Orientierung gemeint. Und mit "Pfeilen" kann man Vektoren schließlich auch super beschreiben, mir fällt da kein besseres Prinzip ein...
Ein Vektor geht von gar keinem Punkt bzw. von allen Punkten aus, er bedeutet eben nur "gehe soundsoweit in Richtung x, soundsoweit in Richtung y etc." Da der Mathelehrer nicht behauptet hat, es wäre anders, liegt er nicht deshalb falsch.
Der Mathelehrer wollte darauf hinaus, dass "parallel" zwei Ausrichtungen haben kann. Ein Vektor, der nach oben zeigt, ist aber ungleich zu einem, der nach unten zeigt.