Ist 0,9 periode mit 1 identisch?
Wenn zwei Zahlen nicht identisch
sind, muss ich ja eine Mitte zwischen
diesen angeben können, z.B: 0,999
und 1 haben die Mitte 0,9995. Für die
Zahlen 09 und 1 kann ich aber keine
Mitte angeben, also: 0,9 = 1!
3 Antworten
nein identisch nicht, aber der Taschenrechner rechnet auch nicht exakt, weil er im binärsystem arbeitet, sondern immer nur näherungsweise.
stell bitte beides im Binärsystem dar, dann siehst du den Unterschied.... du wirst nicht fertig mit dem Schreiben von 1en
Mit dem Binärsystem hat das gar nichts zu tun. Du wirst im Dezimalsystem ebenfalls nicht fertig mit den Neunern, muss man auch nicht, ist halt 1. Dafür gibt's übrigens einfach zu verstehende Beweise auf Wikipedia.
Ja 0.9 periodisch ist gleich 1 in den Rellen Zahlen.
Kannst du dir relativ einfach herleiten:
1/3 = 0.3 periodisch
1/3 * 3 = 1 = 0.3... * 3 = 0.9...
⅓ ist nicht exakt 0.33333... sondern nur näherungsweise oder "unendlich nahe"
1/3 ist exakt 0.33333...
Das kannst du ja relativ einfach über die Schriftliche Division herleiten:
1 : 3 = 0.333
10
10
10
usw.
Es ist eine Dezimalzahl mit unendlich viele Nachkommastellen.
Aber du kannst den Umstand 0.9.... = 1 auch über die Geometrische Reihe herleiten.
0.9... kann man ja darstellen als 9 * 10^-1 + 9 * 10^-2 + 9*10^-3 usw.
Das liefert jetzt die Reihe
9 * Summe n = 1 bis unendlich von 10^-n
bzw wenn man das n zu 0 setzt muss man am Ende noch 1 subtrahieren also:
9 * [( Summe n = 0 bis unendlich von (1/10)^n)- 1]
Diese Summe entsprich jetzt genau der geometrischen Reihe und die Lösung dieser Summe ist dann bekanntermaßen:
1/(1-1/10) = 10/9
Dann ergibt sich die obere Darstellung zu 9*(10/9 - 1) = 1
womit man anhand der geometrischen Summe gezeigt hat dass 0.9... = 1 ist.
Erst in den Hyperrellen Zahlen wird dieser Umstand behoben. Dort ist 0.9... darstellbar als 1 - a wobei a eine Infinitismal kleine Zahl ist.
Macht man den übergang in die rellen Zahlen mit lim a->0 1 - a liefert dieser Grenzwert in den rellen Zahlen wieder 1.
Ich habe in der Schule als Definition der reellen Zahlen gelernt:
Die reellen Zahlen sind alle vorzeichenbehafteten unendlichen Dezimalbrüche ohne Neunerperiode [sic].
Insbesondere dürfen sie eine Nullerperiode haben, dann sind es endliche Dezimalbrüche.
Stimmt ja auch. Das hängt eben genau damit zusammen, dass die 9er Periode eben zu diesem Effekt führt.
Und um diesen Ärger zu vermeiden, wurde das per Definition ausgeschlossen.
0,9 Periode = 0,999999..... ist tatsächlich gleich 1
Beweis:
Es gilt: 1/3 = 0,33333....
Jetzt auf beiden Seiten mit 3 multiplizieren:
1 = 0,99999.....
Natürlich identisch