Grenzwert einer expliziten Folge?
Hallo zusammen :),
gegeben ist: an+1=Sqrt(1+an) und a1=1
(kursiv und dünn bedeutet das es sich um Indizes handelt)
Gesucht ist der Grenzwert
Kann mir vielleicht jemand helfen mit dem Lösungsweg und einem richtigen Ergebnis ?
Danke schonmal im voraus!
3 Antworten
Wenn es einen Grenzwert g gibt, dann gilt auch
an+1 = an ab einem bestimmten n, denn sonst wäre g kein Grenzwert.
->
g = sqrt(1+g)
->
g^2 = 1+g
<=>
g^2-g-1 = 0
g1,2 = 1/2 +- sqrt(1/4+1) = (1+-sqrt(5))/2
g = (1+sqrt(5))/2
Das ist richtig, aber das wollte er ja eigentlich auch nicht wissen.
Hier bietet sich das Monotonieprinzip zusammen mit vollständiger Induktion an.
Wir behaupten, dass die Folge monoton steigt und nach oben mit 2 beschränkt ist.
Induktionsanfang: a_1 = 1 < 2, a_2 = sqrt(1+1) = sqrt(2) < 2.
Sei nun also a_n < 2 und a_(n-1) < a_n.
Es folgt a_(n+1) = sqrt(a_n + 1) < sqrt (2+1) = sqrt(3) < 2.
Daraus dass a_n < 2 ist folgt also auch a_(n+1) < 2.
Außerdem folgt
a_(n+1) = sqrt(a_n + 1) > sqrt(a_(n-1) + 1) = a_n
Es folgt also induktiv, dass die Folge monoton steigt und beschränkt ist.
Aus dem Monotonieprinzip folgt somit die Konvergenz der Folge.
Für den Grenzwert setzen wir beide Seiten der Rekursionsvorschrift gleich, also
a = sqrt(a + 1)
Denn wenn die Folge konvergiert, dann muss diese Gleichheit ab einem bestimmen Index erfüllt sein (zumindest beliebig nach an die Gleichung rankommen, genauer: Für alle epsilon existiert ein N mit a_(n+1) - sqrt(a_n + 1) < epsilon für alle n>N.)
Es folgt somit
a² = a + 1
a² - a -1 = 0
-> Mitternachtsformel
a = (1+sqrt5)/2, was genau dem goldenen Schnitt entspricht
deine Folge ist rekursiv angegeben und nicht explizit;
schreib mal die ersten 10 Folgeglieder auf, dann siehst du vielleicht, welcher Grenzwert sich ergibt.
a1 = 1
a2 = 1,414
a3 = 1,55
usw
Allerdings ist das noch kein Beweis für die Konvergenz. Falls die Folge konvergiert, kann man so den Grenzwert bestimmen