Grenzwert der Folge n-te Wurzel(3n+5)?

mich stört irgendwie die 3 und die 5:(

Answer 1

[Jangler13]

Hier ist das einschließungslemma ganz sinnvoll:

Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion gilt:

n^(1/n)<=(3n+5)^(1/n)<=(8n)^1/n

Für alle n >= 1

Die Linke Folge geht gegen 1

Die rechte auch denn:

(8n)^(1/n)=8^(1/n)*n(^1/n)

Was beides gegen 1 geht

Somit muss der Grenzwert der Folge dazwischen gegen 1 gehen

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[lili5555]

Dankeeee!!!

Answer 2

[Willibergi]

Eine schnelle Lösung:

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3n+5}=\lim_{n\to\infty}\exp\left(\frac{1}{n}\ln\left(3n+5\right)\right)$

und da exp stetig, lässt sich der Limes reinziehen,

$\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(3n+5\right)}{n}\right)$

der Satz von L'Hospital führt dann zu

$\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{3}{3n+5}\right)=\exp\left(0\right)=1$

und wir sind fertig.

Alternativ, wenn du den Grenzwertsatz der Vorlesung benutzen willst / musst / L'Hospital noch nicht verwenden darfst, verwende das Sandwichlemma:

$\sqrt[n]{n}\le\sqrt[n]{3n+5}\le\sqrt[n]{3n+\left(n-3\right)n}=\sqrt[n]{nn}=\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}$

für große n, die Grenzwerte der beiden Schranken sind 1, also ist auch der des eingeschlossenen Grenzwertes 1.

LG

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[lili5555]

Dankeee an den Satz hatte ich auch gedacht weil ich ein ähnliches bsp hier https://youtu.be/bh3vEH1e7C0 gesehen habe

[Willibergi]

@lili5555

Genau. Oft, wenn Grenzwerte von der Form bekannter Grenzwerte, aber versehen sind mit Konstanten oder Absolutgliedern, klappt das Sandwichlemma ganz leicht.

Answer 3

[RitterToby08]

Betrachte die folgende Abschätzung:

$n\le3n+5\le3n+5n=8n\ für\ alle\ n\in\mathbb{N}.$ Dann folgt der Grenzwert sehr schnell aus bestimmten Grenzwertsätzen (unter anderem der oben angegebene) und der Monotonie der Wurzel.

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[Jangler13]

Wir haben beide die gleiche Abschätzung nach oben genommen :p

[RitterToby08]

@Jangler13

Sie war auch na­he­lie­gend. :D

[Willibergi]

Wobei man hier noch den Grenzwert für die n-te Wurzel einer Konstante beweisen müsste, wenn er nicht gegeben ist.

[RitterToby08]

@Willibergi

Ja, das stimmt. Dieser Satz fällt unter die von mir erwähnte Kategorie Grenzwertsätze. Aber normalerweise sollte das bekannt sein, wenn ich n^(1/n)-->1 für n gegen unendlich bekannt ist. Falls nicht kann das aber mit dem bekannten Satz leicht bewiesen werden.

[lili5555]

@Willibergi

dankee ne müssen wir nicht

[lili5555]

@lili5555

Also reicht bei uns einfach zu sagen bzw schreiben hatten wir in der Vorlesung:D also bezogen auf das die nte Wurzel Aus n gleich 1 ist wenn n gegen unendlich geht

[RitterToby08]

@lili5555

Wenn ihr das in der Vorlesung bewiesen habt oder ihr den Satz auch ohne Beweis verwenden dürft, dann reicht ein Verweis auf die Vorlesung. :)

Answer 4

[RIDDICC]

1. also WA meint, dass man es so versuchen soll: $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{3\cdot n+5}$ $=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\frac{1}{n}\cdot\ln\left(3n+5\right)}$
2. dann sieht man wohl, dass da irgendwie $e^0$ steht, weil: der Logarithmus langsamer als n wächst...
3. oda?
4. https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%7Bn-%3Einf%7D+%283n%2B5%29%5E%281%2Fn%29

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[lili5555]

Wie kommst du auf das e, da gab es doch so eine Formel wenn ich mich recht entsinne

[RIDDICC]

@lili5555

oh... ihr kennt noch keinen Logarithmus? und die Exponentialfunktion auch nich?

[lili5555]

@RIDDICC

Doch hahahah ich kenne die Funktionen, ln und e Heben sich auf

[lili5555]

@lili5555

Ah ok hab’s verstanden 😅 Potenzgesetze a^(1/n)= nte wurzel(a). Dankee

[RIDDICC]

@lili5555

ja, aber7 es geht auch um diese Rechenregel: ln(a^b)=b·ln(a)