Bestimme den Grenzwert n gegen unendlich?

Hallo,

kann mir jemand den Grenzwert von folgender Reihe bzw Folge mit Rechenweg erklären?

(1+2+...+(n-1)+n)/n^2

als Ergebnis müsste für den Grenzwert 0,5 rauskommen, leider komm ich nicht drauf. Danke!

Answer 1

[evtldocha]

Vielleicht hilft das:

$\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nk\ =\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}\ =\frac{1}{2n^2}\cdot\left(n^2+n\right)=\frac{1}{2}\ +\frac{1}{2n}$

Answer 2

[Slevi89]

das geht relativ einfach wenn man weiß was die Gaußsche Summenformel ist.

So kann man 1+2+..+n auch schreiben als

$\frac{n\left(n-1\right)}{2}$

dann wird aus deinem Term

$\frac{n\left(n-1\right)}{2}\cdot\frac{1}{n^2}\ =\ \frac{n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2n^2}\ =\ \frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2}\ =\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$

das geht für n gegen unendlich entsprechend gegen 1/2