Funktioniert Substitution auch bei z.B. e^-2x?
In der Klassenarbeit kam eine Aufgabe vor. Da sollte ich eine Gleichung lösen. Die Gleichung lautet z.B. 4e^-2x + e-x =4
Kann man jetzt substituieren?
3 Antworten
Meinst du
4 e^(-2x) + e^(-x) = 4 ???
Das ist ja
4 (e^(-x))² + e^(-x) = 4
Da kannst du in der Tat y = e^(-x) substituieren.
4 y² + y = 4
y² + 1/4 y - 4 = 0 usw.
Dann hättest du ja keinen Fortschritt erzielt. Wenn du e^(-2x) durch u^(-2x) ersetzt, was hast du denn dann dort stehen? Immer noch ziemlich das selbe - aber was hast du dann aus e^(-x) gemacht?
Die Aussage an sich ist nicht falsch, du kannst substituieren, was du willst - aber es ist keine Lösung, daher im Sinne der Aufgabenstellung "Löse durch Substitution" der falsche Ansatz.
Wichtig ist nur, dass du bei der Substitution eine ordentliche quadratische Gleichung zustandebringst. Dann kannst du immer substituieren. Du musst hier also sehen, dass
e^(-2x) = (e^(-x))²
ist (5. Potenzgesetz). Das ergibt mit der Substitution z = e^(-x) :
z² + 0.25x - 1 = 0
Denn du darfst nicht vergessen, auch die 4 noch durch 4 zu dividieren!
Die Lösungen für z sind dann schon sehr unangenehm, wobei nur der positive Wert resubstituiert werden kann. Das ist auch nicht gerade leicht, weshalb ich empfehlen würde, den numerischen Wert zu nehmen (0,8828 gerundet).
Denn x = - ln z (Resubstitution)
(Ich habe es mit Wolfram via Direktrechnung verifiziert.)
Eine Substitution kommt nur bei spezifischen Stoffen vor, dazu muss die Gleichung näher beschrieben werden.
Und was ist, wenn ich u^-2x = e^-2x geschrieben hätte, wäre das falsch?