Aufgabe Funktionenschar?
Die funktion lautet x^3 -2ax^2 + a^2x
Man soll den Wert von a so bestimmen, dass die funktion die Nullstellen 0 und 4 hat.
Ich habe es ausgeklammert und da kommt als erste nullstelle 0 raus. Ich verstehe nicht wie ich weitermachen soll
4 Antworten
Hallo,
wenn die Funktion nur die Nullstellen 0 und 4 haben soll, muß bei 4 eine doppelte Nullstelle liegen.
Nach Ausklammern von x (Nullstelle x=0) bleibt x²-2ax+a² übrig.
Eine doppelte Nullstelle bei x=4 liegt bei (x-4)²=x²-8x+16 vor.
Es muß also gelten x²-2ax+a²=x²-8x+16.
Den Wert für a so zu bestimmen, daß diese Gleichung stimmt, sollte kein Hexenwerk sein.
Herzliche Grüße,
Willy
Du hast du jetzt stehen
x (x² - 2ax + a²) = 0
Daran siehst du, dass unabhängig von a, 0 schon mal immer eine Nullstelle ist.
Die weiteren Nullstellen bekommst du, wenn du den zweiten Faktor auch gleich Null setzt:
x² - 2ax + a² = 0
Das kannst du jetzt mit der pq-Formel auflösen und schauen, wie du a wählen musst, damit da genau die Lösung 4 rauskommt, oder du schaust einfach ganz genau hin, dann entdeckst du vielleicht die 2. binomische Formel.
Oder du machst es dir noch einfacher:
Du kannst jedes Polynom ja in der Produktform schreiben, wenn du die Nullstellen kennst. Das Polynom x³ - 2ax² + xa² ist normiert, es gibt also keinen weiteren Vorfaktor. Wenn es die beiden Nullstellen 0 und 4 hat, muss eine der beiden Nullstellen doppelt sein, d. h. man kann das Polynom entweder schreiben als
(x -0)(x-0)(x-4)
oder
(x-0)(x-4)(x-4).
Das erste kann nicht sein, dann hätte man x³ - 4x² und das bekommt man mit dem a nicht hin.
Das zweite ist ausmultipliziert
x³ - 8x² + 16x
und da sieht man dann, was a sein muss.
Das heißt: Die Funktion hat die NS 0 unabhängig von a.
Jetzt bleibt x² - 2ax + a². Das setzt du in die pq-Formel ein,
setzt x auf 4 und löst nach a auf.
x=0 ist trivial. In diesem Fall ist a beliebig.
x=4 sieht dann anders aus:
Rest ist pq-Formel.
Ich hab jetzt die pq formel.benutzt und da steht a+- wurzel a^2 -a^2.
Dann muss a 4 sein oder?