Anzahl Lösungen einer Wurzel?
Wenn man die zweite Wurzel eine Zahl zieht, bekommt man zwei Lösungen. Bei der dritten auch(also drei). -> also wenn man die n-te Wurzel einer Zahl zieht bekommt man n Lösungen.
Aber gibt es einen Beweis oder eine Herleitung dafür?
5 Antworten
Hallo,
das stimmt nur, wenn Du mit komplexen Zahlen rechnest.
Von nichtnegativen reellen Zahlen bekommst Du zwei geradzahlige Wurzeln, aber nur jeweils eine ungeradzahlige.
Die komplexen Wurzeln einer Zahl befinden sich auf einem Kreis um den Ursprung der komplexen Zahlenebene und bilden darauf ein gleichmäßiges n-Eck, wobei n dem Grad der Wurzel entspricht. Nur wenn eine Ecke auf der reellen Achse liegt, gibt es dort eine reelle Wurzel.
Das kann bei n-Ecken mit ungerader Eckenzahl höchstens einmal passieren, weil sich bei einer ungeraden Zahl von Ecken zwei von ihnen nicht um genau 180° unterscheiden können.
Bei geradzahligen n kann das zweimal passieren. Die beiden Wurzeln liegen dann symmetrisch zum Ursprung.
Herzliche Grüße,
Willy
In den reellen Zahlen ist als Wurzel von 4 tatsächlich nur die 2 und nicht die -2 definiert, weil man ansonsten Probleme mit Äquivalenzumformungen bekommt.
Dafür ist es aber korrekt, als Lösungsmenge für die Gleichung x²=4 in den reellen Zahlen L={-2;2} anzugeben.
Wenn du auch den bereich der komplexen Zahlen miteinbeziehst, dann sollte das stimmen.
Wenn du nur die reelen Zahlen nimmst, gibt es immer nur eine Lösung für die wurzel
Gruß davebot
Bei der 3. Wurzel gibt es nur eine Lösung!
Bei geraden Wurzeln gibt es zwei (positiv und negativ), bei ungeraden nur die positive!
Aha, und was ist die 3. Wurzel aus 8, bzw. -8?
Das ist jeweils nur eine! Nämlich 2 und bei -8 auch -2!
@Spikeman, bevor du dich hier aufführst wie jemand der Mathe kann, möchte ich dir was erzählen. Es gibt die komplexen Zahlen. Z.B i ist eine komplexe Zahl i=Wurzel(-1)
Zum Glück ist aber 8 eine positive Zahl ;-)
Da braucht man normalerweise keine komplexen Zahlen für die 3. Wurzel!
Wenn Du auf dem Niveau eine Antwort haben möchtest, solltest Du vllt auch Deine Frage entsprechend stellen und nicht ausfallend werden! Auch das ist eine Art von Dummheit!
Ach ja hier als Beweis die drei Lösungen der dritten Wurzel aus 8:
2
2*cos(2pi/3)+2isin(2pi/3)
2*cos(-2pi/3)+2isin(-2pi/3)
Hast du deine Frage extra so gestellt, nur um dich dann als besserwisserischer Oberschlauberger in Szene zu setzen?
Wie kommst du darauf, dass man beim Wurzelziehen zwei Lösungen bekommt? Die Quadratwurzel aus 4 ist 2 und was noch?
Stimmt nicht. Die Lösung einer Quadratwurzel kann nicht negativ sein.
Die Quadratwurzel (...) einer nichtnegativen Zahl y ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl y ist.
Speziell ist daran gar nichts. Das ist die allgemeingültige Definition. Natürlich gilt
(-2)·(-2) = 4
aber
√(4) = 2
und
√(4) ≠ -2
Denn eine Quadratwurzel ist immer eine nichtnegative Zahl.
Und wie nennst Du dann das negative Ergebnis, wenn es eins gibt?
Welches negative Ergebnis? Es gibt einen Unterschied zwischen √(4) und dem Ergebnis der Gleichung x²=4.
√(4) = 2
ABER
x² = 4
|x| = √(4)
x₁ = 2 und x₂ = -2
@Myrine ich rede nicht von der Quadrat Wurzel sondern von der Wurzel bzw. Der zweiten
Doch du redest von der Quadratwurzel, denn das ist das selbe wie die 2. Wurzel. Mir ist aber gerade aufgegangen was du meinst. Die Lösung dieser Gleichung ist tatsächlich sowohl 2 als auch -2:
x² = 4
Jain.
Man hat die Wuadratwurzel eher nur definiert als die positive Zahl z.b Quadratwurzel 16=4.
Aber wenn du jemand fragt nach der Wurzel oder der zweiten wurzel, gäbe es zwei Losungen.
also das ist nur eine Frage der Definition!
Mathe besteht aus Definitionen, die kann man nicht einfach ignorieren. Du hast dich mathematisch nicht korrekt ausgedrückt. Nur weil dich viele trotzdem verstehen, macht es das nicht richtig.
Welche drei Lösungen bekommst du bei der dritten Wurzel aus 2?
Hoppla, das Hoch-3 muss natürlich weg:
∛2
(−1+√3i)/∛4
(−1−√3i)/∛4
War ein Copy/Paste-Fehler nach meiner Kontrolle im Taschenrechner.
Endlich mal jemand der was im Hirn hat, und nicht das Gefühl hat er sei der mathepro und nicht mal weiss das die Wurzel aus 4 2 und -2 ist! Danke!!