Wurzel aus negativer Zahl ziehen?
Hi, die n-te Wurzel einer Zahl ist doch die jenige positive Zahl die hoch n die ausgangszahl ergibt. Warum kann man jedoch die dritte Wurzel aus -8 rechnen. Ich weiß, dass es gehen würde weil es ja die dritte Wurzel ist aber ich dachte es dürfen generell keine Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden?
9 Antworten
Hallo,
im Grunde hast Du recht. Die Definition der Wurzel im Körper der reellen Zahlen bezieht sich tatsächlich auf die positive Wurzel aus einer positiven Zahl.
Daher ist die 3. Wurzel aus (-8) in R nicht definiert.
Das heißt aber nicht, daß die Gleichung x^3=(-8) in R keine Lösung hat.
Natürlich lautet die Lösung in R x=-2.
Du dürftest -2 nur nicht die dritte Wurzel aus -8 nennen, das ist alles.
Anders sieht es bei den komplexen Zahlen, also in C aus.
Hier gibt es die Beschränkung der Wurzeln auf die positiven Zahlen nicht.
In C kannst Du aus jeder Zahl z (a+bi) n unterschiedliche n-te Wurzeln ziehen.
In C hat -8 drei dritte Wurzeln oder sechs sechste Wurzeln oder
zwanzig 20. Wurzeln usw.
Alle diese Wurzeln liegen auf einem Kreis, dessen Radius der entsprechenden Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl, aus der die Wurzeln gezogen werden, entspricht und haben auf diesem Kreis gleichmäßige Abstände.
Wenn man sie verbindet, entsteht ein regelmäßiges n-Eck, wobei n dem Grad der Wurzel entspricht.
Im Fall der 3. Wurzel aus (-8), die es in R offiziell nicht gibt, sind es in C drei Wurzeln:
-2 (also eine reelle Zahl)
und die beiden komplex konjugierten Zahlen 1±Wurzel (3)i.
Nochmal: Verwechsle nicht die dritte Wurzel aus (-8) in R mit der Lösungsmenge der Gleichung x^3=-8 in R.
Die erste gibt es offiziell nicht, die zweite schon.
Herzliche Grüße,
Willy
Wurzelziehen ist nur so definiert, dass es POSITIVE Ergebnisse gibt.
Deshalb ist z.B. √4 nur 2 und NICHT -2, obwohl (-2)² auch 4 ergibt.
Dein Versuch mit " ³√(-8)=-2 " entspricht NICHT der Definition der Wurzelfunktion, weil -2 ein negatives Ergebnis ist.
Also die Annahme, dass Wurzelziehen einfach nur die Umkehrung des Potenzierens ist, ist nicht richtig:
(-2)²=4 und (-2)³=8 ist beides richtig,
aber die Umkehrung "√4=-2" und "³√(-8)=-2" gilt NICHT, weil das der Definition der Wurzelfunktion widerspricht.
Das darf man nicht verwechseln mit dem Lösen von Gleichungen:
Z.B.: x²=4 => x=±√4
das ± steht VOR der Wurzel und √4 selbst ist immer nur 2.
Deshalb: x²=4 => x=±√4 = ±2 also 2 Lösungen: x=2 und x=-2
Stop. Wenn man sagt, man zieht die Wurzel aus x, dann meint man damit stets die Quadratwurzel, das hat sich so im Sprachgebrauch etabliert, auch wenn es unpräzise ist. Wurzel ziehen aus negativen Zahlen macht nur dann Probleme, wenn n einen geraden Zahlenwert annimmt, also z.B. 4. Das liegt daran, dass sich dann die Vorzeichen aufheben. Du kannst und da muss man genau werden auch die Quadratwurzel aus z.B. -1 ziehen. Dafür gibt es dann den komplexen Zahlenbereich, in dem i² = -1 ist. Allerdings und du hast du Recht, im reellen Zahlenbereich, dürfte man das nicht tun, bzw. man kann es erst gar nicht tun. Du musst also immer deinen Definitionsbereich angeben, wenn du argumentierst ;) ist x element reelle Zahlen liegst du also richtig ;)
Drei gleiche Zahlen als Faktoren ergeben die dritte Potenz. Daher kann man auch hier rechnen:
(-2) mal (-2) mal (-2) = - 8
Die dritte Wurzel ist dann nur die Umkehrung.
Du kannst aus einer negativen Zahl allerdings keine Quadratwurzel ziehen, da es umgekehrt keine zwei gleichen Faktoren gibt, die eine negative Zahl bilden
Der Satz ist gut! Natürlich gibt es die, aber nicht bei den natürlichen Zahlen. Hier hatten wir allerdings eine Schülerfrage - und Arbeiten mit komplexen Zahlen ist nicht Schulstoff.
Das Wortspiel war nicht ganz unbeabsichtigt. ^^
Und wenn wir jetzt auch noch die natürlichen Zahlen mit in die ganze Sache reinziehen, dann gibts auch keine Quadratwurzel von 2. ^^
P.S.: Mag sein, dass komplexe Zahlen kein Schulstoff sind, aber trotzdem ist die Aussage "man kann keine Quadrat-(oder sonstige)Wurzel aus negativen Zahlen ziehen" zumindest ohne weitere Anmerkungen falsch.
@Nadelwald75: Wurzelziehen ist nicht einfach die Umkehrung vom Potenzieren!
Bsp: (-2)²=4 ist richtig,
aber die Umkehrung "√4=-2" gilt NICHT, weil das der Definition der Wurzelfunktion widerspricht.
√4 ist nur 2 und nicht -2.
Ist mir nicht ganz einsichtig, da ich nicht eine Wurzelfunktion meinte, sondern nur rechnerisch das Wurzelziehen.
Bei quadratischen Gleichungen hast du ja auch zwei Lösungen.
Ja klar, bei quadratischen Gleichungen gibt es 2 Lösungen, aber die Wurzel liefert IMMER nur 1 Wert!
Z.B. die quadratische Gleichung x²=4 => x=±√4
das ± steht VOR der Wurzel und √4 selbst ist immer nur 2.
Deshalb: x²=4 => x=±√4 = ±2 also 2 Lösungen: x=2 und x=-2
Das kommt erstmal auf die Zahlenmenge an.
Bei reelen Zahlen kannst du negative Zahlen nur dann radizieren, falls der Wurzelexponent ungerade ist.
(-2)^3=-8
Kannst Du auch dann nicht, das widerspricht der Definition der Wurzel.
In R ist die n-te Wurzel aus a (a muß eine nichtnegative reelle Zahl sein) die positive Lösung der Gleichung x^n=a
Habe es mir mal angeschaut. Das kann anscheinend bei den Wurzelgesetzen und dem Bezug zur e-Funktion zu Problemen führen. Letzendlich ist es tatsächlich Frage der Konvention.
Schau mal bei dem Wikipediaeintrag weiter unten im Abschnitt „Wurzeln aus negativen Zahlen“ . Da werden beide Positionen verteten, die sich seltsamerweise gegenseitig ausschließen.
Bei der Beschränkung auf positive Wurzeln aus nichtnegativen Zahlen bist Du auf jeden Fall auf der sicheren Seite, denn in diesem Bereich sind die Wurzeln in R weltweit definiert. Wenn es um ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen geht, solltest Du besonders darauf hinweisen, auf welche Definition Du Dich beziehst.
Aber wie gesagt: In C gibt es diese Probleme nicht.
Natürlich gibt es die... Und es sind sogar "unendlich" viele.
Beispiele:
(1i)^2 = -1
(2i)^2 = -4
(3i)^2 = -9
... usw. ...