i-te Wurzel aus 1?

Ich habe den Ausdruck 1^(1/i), also die i-te Wurzel aus 1 (i ist die imaginäre EInheit). Als Ergebnis bekam ich

$e^{\left(2\cdot pi\cdot n\right)},\ n\ aus\ Z$

Meine Frage ist nun: Gibt es unendlich viele solcher i-ten Einheitswurzeln? Bei einer n-ten Einheitswurzel bekommt man ja nur n verschiedene Lösungen. Zudem scheint i ja algebraisch zu sein, denn sie ist z.B. Lösung der Gleichung x^2+1=0. Aber i verschiedene Lösungen kann auch nicht wirklich sein.
Weiß da einer Bescheid? Wie kann man sich sowas oder allgemein beliebige (algebraische/ transzendente) Potenzen/ Wurzeln vorstellen?

Answer 1

[mihisu]

Gibt es unendlich viele solcher i-ten Einheitswurzeln?

Ja, hast du doch auch als Ergebnis erhalten: Für jede natürliche Zahl n ist e^(2πn) eine i-te Wurzel aus 1. (Und es gibt unendlich viele verschiedene ganze Zahlen n.)

Allerdings ist mit 1^(1/i) üblicherweise nicht jede i-te Wurzel von 1 gemeint, sondern nur der entsprechende Hauptwert, damit der Ausdruck 1^(1/i) wohldefiniert ist. Im konkreten Fall ist dann 1^(1/i) = 1.

Zudem scheint i ja algebraisch zu sein, denn sie ist z.B. Lösung der Gleichung x^2+1=0.

Ja, das ist richtig. i ist algebraische Zahl.

Aber i verschiedene Lösungen kann auch nicht wirklich sein. 

Hat ja auch keiner behauptet, dass es i verschiedene Lösungen gibt.

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Für alle Zahlen k und a werden die Zahlen x mit x^k = a als die k-ten Wurzeln von a bezeichnet.

In den komplexen Zahlen definiert man Potenzen üblicherweise folgendermaßen:

$x^k=\exp\left(k\cdot\text{Log}\left(x\right)\right)$

Dabei ist Log der Hauptzweig des Logarithmus:

$\text{Log}\left(x\right)=\ln\left(\left|x\right|\right)+\text{i}\cdot\text{Arg}\left(x\right)$

Den Hauptwert der k-ten Wurzel einer komplexen Zahl definiert man dann üblicherweise als x^(1/k).

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Es ist aber sehr unüblich Wurzeln mit nicht-ganzzahligem Wurzelexponenten zu betrachten. Wofür brauchst du denn die i-ten Wurzeln von 1?

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

das Ergebnis stimmt.

Nach der Eulerschen Identität ist 1=cos (2pi*n)+i*sin (2pi*n)=e^(i*2pi*n).

Ziehst Du daraus die i-te Wurzel, teilst Du den Exponenten von e durch i und es bleibt e^(2pi*n) übrig.

Die vielen Lösungen erklären sich aus der Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 3

[precursor]

Soll bei dir i für die imaginäre Einheit stehen oder für eine natürliche Zahl ?

Comments

[Vegetah]

Die imaginäre Einheit.