alle x für die der graph x eine positive Steigung hat?
Hallo ich habe ein Problem ich komm einfach nicht drauf wie ich die x-werte bekomme bei denen f(x)=1/3x^3-3x^2+8x+1 eine positive Steigung hat! Ich hatte schon die Idee f'(x)=unendlich zu setzen.
Danke im voraus!!!
ps: ich habe einen CAS
6 Antworten
Der ===> Leitkoeffizient ( LK ) ist positiv; damit hast du positive Steigung für hinreichend große x . Da das Polynom ungerade ist, stimmt das auch für ( dem Betrag nach große ) negative x . Wäre nur zu klären, ob dein Polynom Extrema besitzt. Ganz konkret; unser Beispiel ist vom 3 . Grade. Entweder keine Extrema; dann ist der Graf treu ( " injektiv " ; auch ich kann deutsch sprechen; nicht nur ihr mit eurem " Hochpunkt " statt Maximum. ) Oder du hast genau ein Minimum und ein Maximum; zwischen diesen verläuft die Kurve dann fallend. Jetzt die Ableitung Null setzen
f ' ( x ) = x ² - 6 x + 8 = 0 ( 1 )
Nein das machen wir nicht mit der Mitternachtsformel. Schau mal, was Pappi alles weiß
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Naa; hast du dich von deinem Schock erholt? Aber der Verfasser des obigen Wikiartikels ist ein Troll. Von Gauß stammt der SRN mit Sicherheit nicht. Gauß ist doch Kult; wieso hat dein Lehrer noch nie davon gehört? Auch Standardliteratur ===> v.d. Waerden ( 1930 ) kennt ihn nicht ( ! ) ( Ich bin vom Fach; die in Wiki angebotenen Zitate überzeugen nicht; das angeführte Jahr 2006 würde ich allerdings akzeptieren als Entdeckungsjahr. )
Aus dem SRN folgt trivial, dass Wurzel ( 2 ) u.Ä. irrational sind. Wieso hatte in den letzten 200 Jahren niemand diese Beweisidee?
Oft ziehen Fälschungen auch technische Schwierigkeiten nach sich; so sei nur daran erinnert, dass ===> Konrad Kujau die Hitlertagebücher mit einer Tinte fälschte, welche vor dem Krieg noch gar nicht erfunden war. Genau so hier; unmittelbar nachdem mir der SRN bekannt wurde, entdeckte ich die beiden pq-Formeln ( 2bc ) ; im Zusammenhang mit ( 1 ) würden sie lauten
x ( max / min ) =: p1;2 / q1;2 € |Q ( 2a )
p1 p2 = a0 = 8 ( 2b )
q1 q2 = a2 = 1 ( 2c )
Gauß ist doch ein Genie; sollte ihm die Bedeutung von ( 2bc ) etwa entgangen sein? Ja sollte gar ich der erste sein in den 200 Jahren seirt Gauß, der ihre Bedeutung erkannt hat? Voll abwegig.
Du hast verstanden, dass wir in ( 1 ) sämtliche Zerlegungen des Absolutgliedes 8 untersuchen müssen. Da müssten wir aber erst eine gewisse Zweideutigkeit mit dem Vorzeichen ausräumen, weil ja " Minus Mal Minus " auch Plus ergibt. Dies nun leistet die cartesische Vorzeichenregel:
" Zwei Mal Plus "
0 < x ( max ) < x ( min ) ( 3 )
Nun besitzt die 8 genau zwei Zerlegungen; die triviale 8 = 1 * 8 ( die wir von Vorn herein verwerfen müssen ) so wie 8 = 2 * 4 Und zwar müssen x ( max / min ) beide gerade sein; ihr ggt ist 2 .
Woher weiß ich jetzt das schon wieder? Sei m ein Teiler; dann folgt aus dem Vieta von ( 1 )
m | x ( max / min ) <===> m | p ; m ² | q ( 4a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 4a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f ' in ( 1 ) heißen ( K wie Koeffizient ) Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt; hier also offenbar 2 . Die Behauptung
ggt x ( max / min ) = gkt ( f ' ) ( 4b )
Ist diese Bedingung auch hinreichend? An sich noch nicht; denn wo steht geschrieben, dass ( 1 ) auch zerfällt gemäß Ansatz ( 2a ) ? Aber gerade bei kubischen Polynomen gibt es eine Bedingung, die nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend ist. Für Spickzettel, Formelsammlung und Regelheft; eure Lehrer verschweigen es euch, und im Internet findet ihr es auch nicht.
Jedes kubische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP; die beiden Extrema fallen Spiegel symmetrisch, woraus sich die Mittelwertbeziehung ergeben würde
x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ] = 3 ( 5a )
Wieder Spickzettel, Formelsammlung und Regelheft; praktisch verwertbar wird diese Aussage erst dadurch, dass ihr für den WP keine 2 . Ableitung benötigt. Was allerdings gefordert ist, ist die Normalform deines Polynoms:
f ( x ) = x ³ - 9 x ² + 24 x + 3 ( 5b )
x ( w ) = - 1/3 a2 = 3 ( 5c ) ; ok
Damit sind wir fertig.
Vergiß den CAS - so was kann man auch manuell ausrechnen.
"positive Steigung" => f'(x) muß größer 0 sein.
f(x)=1/3x^3-3x^2+8x+1 =>
f'(x) = x² - 6x + 8
Nullpunkte suchen mit "Mitternachtsformel"
x1,2 = 6 ± √36 - 32 / 2
x1 = 4
x2 = 2
f'(x) beginnt mit +x² => Normparabel, nach oben geöffnet =>
f'(x) < 0 für alle x Element von ]2; 4[
und im Umkehrschluß
f'(x) > 0 für alle x Element von [-unendlich; 2[ oder x Element von ]4; unendlich]
Du berechnest die Ableitung der Funktion, die gibt dir Aufschluss über das Steigungsverhalten.
Diese Ableitung setzt du >0 und löst sie.
Du wirst wahrscheinlich die Nullstellen ermitteln, dann reicht es schon Werte zwischen diesen zu wählen und zu schauen ob die Funktion >0 oder <0 ist.
(Denke auch daran ganz links und ganz rechts Werte zu prüfen)
Wie du sicher weißt, gibt es hier im Vergleich etwa zu dem Konkurrenzportal ===> Lycos eine organisatorische Schwierigkeit; Nachträge und Ergänzungen werden meiner ursprünglichen Antwort VORAN gestellt. Ich weiß auch nicht, ob dieser Text Lücken los anschließt; betrachte dies bitte als Teil 2 meiner Antwort und arbeite zuerst Teil 1 durch.
Oft schließen Mathekapitel mit einer kurzen historischen Betrachtung. Der ( von mir ersonnene ) gkt eines Polynoms versetzt jener Theorie endgültig den Todesstoß, der SRN sei eine Entdeckung von Gauß, war doch Gauß der Teilerfürst, der Eigenschaften von Teilern entdeckte, die unsereins nicht mal versteht.
f ' (x) = 0 → x=2 und x=4
Bereiche mit positiver Stg; -oo ; 2 und 4 ; +oo