Ein Grenzwert ist ein bestimmter Wert (also eine bestimmte Zahl), dem sich eine Funktion annähert, ohne ihn jemals zu erreichen.
Der Abstand von der Funktion zu diesem Wert wird praktisch unendlich klein, aber nie komplett Null.
Beispiel:
Die funktion:
f(x) = 1/x
Hier ist
f(1) = 1/1 = 1
f(5) = 1/5 = 0.2
f(1000) = 1/1000 = 0.001
...
Die Funktionswerte werden also, wenn x gegen Unendlich geht, immer kleiner, d.h. sie "gehen gegen Null". Trotzdem werden sie nie gleich Null, egal wie groß x ist.
Die Funktion 2+1/x beispielsweise hat nicht den Grenzwert 0, sondern den Grenzwert 2, wenn x gegen Unendlich geht, denn sie nähert sich immer mehr der 2 an.
Man kann den Grenzwert übrigens nicht nur für x gegen Unendlich berechnen, sondern auch für x gegen eine bestimmte Zahl. Zum Beispiel für x gegen Null. Dann ist das der Wert, gegen den f(x) geht, wenn sich x der Null immer mehr annähert. Diesen Grenzwert kann man auch berechnen, wenn die Funktion bei x = 0 gar nicht definiert ist. Wie bei obigen Beispiel. 1/x ist für x = 0 nicht definiert, denn die Division durch 0 ist nicht definiert. Dennoch kann man ihren Grenzwert für x gegen Null berechnen. Dieser ist Unendlich, denn für x gegen Null wird die Funktion immer größer. Sie nähert sich Unendlich an. Geht eine Funktion gegen Unendlich, dann nennt man das einen "uneigentlichen Grenzewert", da es keine genaue Zahl ist, sondern die Funktion einfach immer größer wird. Man sagt auch, sie divergiert (das ist das Gegenteil von konvergieren).
f(1) = 1
f(0.5) = 2
f(0.001) = 1000
...