Ein Vertrag ist Angebot und Annahme. Das kann sowohl mündlich als auch schriftlich erfolgen. Es gibt Außnahmen, wie z.B. Hauskauf, wo eine schriftliche Form (via Notar) notwendig ist.
In deinem Fall liegt das Problem in der Beweisbarkeit eurer Vereinbarung. Hast du vielleicht einen Zeugen, der die Vereinbarung bestätigen kann?
So oder so, solltest Du die Rechtmäßigkeit der Rechnung betreiten und vorab gar nicht zahlen. Weiße den Elektriker auf seinen Irrtum hin und sag ihm, dass es kein Problem ist, wenn es sich geirrt hat. Fehler passieren halt.
Fordere dann vom Elektriker eine Gutschrift der großen Rechnung und eine Neuausstellung mit dem Betrag von 1.700€.
Viel Erfolg & liebe Grüße,
Renate