Distributionen kann man als eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes verstehen. 

Die, die du gesehen hast, nennt man reguläre Funktionen und werden über ein Integral definiert. Dies erlaubt es mit unschönen(= nicht stetigen) Funktionen rechnen zu können. Man kann z.B. jede Distribution unendlich oft ableiten und auch fouriertransformieren. Auch in der Theorie der Partiellen Differentialgleichungen (Wellengleichung und Maxwellgleichungen) sind sie ein wichtiges Hilfsmittel.

Ein berühmtes Beispiel ist die Dirac-Deltadistribution. Sie ist singulär(=nicht regulär), kann also nicht durch ein Integral über die Testfunktion dargestellt werden. Hiermit kann man z.B. die Dichte von Massenpunkten in der Physik beschreiben.

Wenn man die ersten wichtigen Rechenregeln beherrscht, kann man dann z.B. rausfinden, dass die (distributionelle) Ableitung der Heavisidefunktion die Deltafunktion ist und die Fouriertransformierte der Deltafunktion, die durch die 1 induzierte reguläre Distribution. Damit kann man dann die oben genannten DGLs untersuchen, die ja die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen (also Information) beschreiben.