"Gender" bedeutet "Geschlecht" und hat nichts mit korrekten Berufsbezeichnungen zu tun, zumal es bei diesem Beispiel ja auch um eine bestimmte, offenbar weibliche Erzieherin geht. Den Begriff zu korrigieren, weil ihr Beruf mit "Erzieherin" nicht richtig bezeichnet ist, hat nichts mit politischen Meinungen und Geschlechtsidentitäten zu tun. Auf dem Blatt könnte man genauso gut "Kinderpflegerin" vermerken, falls das das richtige Wort für die Ausbildung der Frau ist.
Von Gendern spricht man, wenn in Texten z. B. von Erziehern und Erzieherinnen geschrieben werden muss. Bei pädagogischen Fachangestellten entfällt das wegen einer Besonderheit bei der Pluralform; hier hieße es im Singular allerdings "jede:r pädagogische Fachangestellte".
Entweder hat sich besagte Lehrerin überhaupt nichts zuschulden kommen lassen - in diesem Fall sollte ein Gang zum Direktor lieber unterlassen werden, wenn man sich nicht ganz schrecklich blamieren will. Möglicherweise ist das Beispiel auch einfach nur schlecht, weil der Fragesteller den Unterschied zwischen gendergerechter Sprache und Fachsprache nicht kennt. Was davon er für richtig hält, überlasse ich jedem selbst.