Open Source, Free to Use --> Blender

Blender wird kontinuierlich besser und besser, und ist jetzt schon auf einem Stand, auf dem man es in der Industrie benutzen könnte (und tut).

Dann für Spiele finde ich unangefochten Unreal Engine. Aber das ist SEHR abhängig davon, was du (wie, wieso) machen willst. Da will ich dir gar nicht reinreden. Es gibt allerdings gute Workflows, um Meshes und Animationen von Blender nach Unreal zu bringen - braucht allerdings manchmal ein bisschen Zeit zu checken, was man da eigentlich macht.

Naja, wenn du es nur angeben, und nicht beweisen musst, UND du die Menge der AL Formeln kennst, sollte das ja nicht so schwer sein oder?

Welche Formeln brauchst du denn, und kannst diese NICHT ohne Operatoren miteinander verknüpfen um wieder die selbe Formeln zu bekommen? Das wäre deine Menge X.

Welche Operatoren kann man denn aus Formeln aus X (und auch F) anwenden, um neue Formeln zu bekommen, die dann in F liegen? Und schon hast du deine Menge O.

Die kurze Antwort ist: nein.

Die lange Antwort ist: jain.

Es kommt ein bisschen drauf an, wie du das Inverse definierst. Die Inverse über Funktionen ist normalerweise definiert, wenn sie bijektiv ist. (Kann man sich ja überegen wie, und warum). Da man unter Umständen eine Ungleichung über eine Reihe von Funktionen definieren kann, könnte man sich hier irgendwas zurecht basteln.

Es kommt immer auf den Kontext an.

Baum klingt gut für a), allerdings könnte man ja a) auch mit b) lösen, da die O(n) Zeiten alle "kleiner" sind. Für b) fällt mir spontan eine Art Hashset ein für die Studies, mit ner nach hinten verlinkten Liste für die Nachrichten und nem Index zum letzten Element.

Eine vollständige Induktion ist ein Spezialfall der strukturellen Induktion, welche über der Menge der natürlichen Zahlen aufgebaut wird.

Betrachten wir doch einmal die natürlichen Zahlen. Bei diesen kann ich sagen:

1) 0 ist in den natürlichen Zahlen

2) wenn x in den natürlichen Zahlen ist, ist auch succ(x) in den natürlichen Zahlen.

Damit haben wir diese Menge strukturell aufgebaut. Wir wissen also (wegen 1)), dass 0 drin ist und (wegen 2)) auch succ(0)=1, und dann succ(1)=2, usw.

Eine Induktion funktioniert NUR wegen diesen Regeln darüber. Wenn wir eine Aussage zu zeigen haben, dann zeigen wir sie für die 0 (IA), und dann nehmen wir an, dass ein x gibt, für dass die Aussage gilt (IV) und zeigen, dass es auch für (x+1) gelten muss (IS). Dadurch, dass wir diese IV annehmen, können (und müssen) wir diese auch benutzen im IS.

Das gleiche können wir auch für andere solche strukturell aufgebauten Mengen machen. So zum Beispiel auch in deinem Beispiel, oder generell in verschiedenen Formelsystemen.

Du hast die atomaren Formeln (etwa wie die "0" in N), für die du die Aussage im IS zeigst. Dann hast du verschiedene Regeln, die aus atomaren Formeln weitere Formeln aufbauen. Zum Beispiel "wenn atomare Formeln A und B gegeben sind, so ist auch 'A impliziert B' eine Formel" usw. Du nimmst also in der IV an, dass die Aussage für atomare Formeln (zum Beispiel A und B) gilt, und zeigst dann im IS, dass es auch für "nicht A", "A und B", ... gilt.

Georg Cantor

Dein Denkfehler ist glaube ich der, dass eine erfüllbare Formel keine Tautologie sein darf, sondern ein "Mix" wie du es nennst.

Allerdings gilt, dass jede Tautologie auch eine erfüllbare Formel ist (sie ist halt immer erfüllbar).

Auch wenn alaaf es im Grunde schon gut auf den Punkt bringt, hier nochmal ein bisschen mehr Intuition:

Eine Menge ist abzählbar, wenn sie entweder endlich ist, oder wenn sie abzählbar unendlich ist. Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen und dieser Menge gibt.

Die Menge der ganzen Zahlen zum Beispiel ist abzählbar, weil ich dir die Funktion

f : N --> G, f(n)={n/2, falls n gerade, -(n+1)/2, sonst

angeben kann. (Von dieser Funktion müsste man jetzt theoretisch zeigen, dass sie bijektiv ist, und wir nehmen an, dass 0 in N, und 0 gerade).

Mit den reelen Zahlen sieht es anders aus. Das Diagonalargument von Cantor zeigt sehr elegant, dass es solch eine Bijektion nicht geben *kann*, weil wir immer wieder neue Werte im Bildbereich finden, auf die wir nicht abbilden. Vielleicht hast du dieses Argument schon einmal gesehen, ansonsten kann dir das das ein oder andere YouTube Video sicher anschaulicher erklären, als ich hier im Text.

Meine Behauptung ist nun die, dass wir das bei deiner Menge M genau so hinbekommen. Du versuchst, unter der Annahme der Bijektivität, eine Funktion aufzustellen, die alle Elemente der natürlichen Zahlen auf Elemente der Menge aus M mapt, und zeigst dann allgemein, dass es Elemente in M gibt, die dann (allgemein, wir nehmen die Bijektion an) nicht erfasst werden. Das steht dann im Widerspruch. Ob du das graphisch machst, oder ihr irgendwelchen logischen Kalküle definiert habt, mit denen ihr so etwas macht, weiß ich nicht.

Fragst du jetzt, WARUM diese Verhältnisse gelten? Darüber kann man sich ja mal Gedanken machen.

Zum Rechnen ist es oft hilfreich, die Gleichungen umzustellen.

So ist zum Beispiel b = (a * sin Beta)/sin Alpha

Das heißt, das wenn du zwei Winkel und eine Seite gegeben hast, oder zwei Seiten und einen Winkel, du die anderen Seiten/Winkel ausrechnen kannst.

https://stackoverflow.com/questions/4564251/change-the-mouse-pointer-using-javascript

Kann hierzu einen Blick hierhin empfehlen!

Eine Relation ist eine Teilmenge aus einem n-Stelligem Kreuzprodukt.
Ein Kreuzprodukt aus Mengen ist so definiert, dass wir Tupel bilden, wo an jeder Stelle des Tupels alle möglichen Elemente der jeweiligen Menge stehen.
Z.B.:
A := {1,2}, B:= {3,4,5}, A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)}.
Das wäre jetzt ein zweistelliges Kreuzprodukt, und jede Teilmenge aus A x B (inklusive A x B) wäre eine zweistellige Relation.
Relationen können bestimmte Eigenschaften haben.

Eine Relation ist linkstotal, falls für alle Elemente aus A (nennen wir es a) ein Element aus B (nennen wir es b) existiert, sodass (a,b) in dieser Relation ist.
Analog rechtstotal (also andersherum).

Eine Relation ist linkseindeutig, falls jedes Element aus A mit nur einem Element aus B in Relation steht. In unserem obigen Beispiel wäre {(1,3), (2,4)} zum Beispiel eine linkseindeutige Relation.
Analog rechtseindeutig, nur andersherum.

Eine Abbildung ist eine Relation. Es gibt verschiedene Typen von Abbildungen mit bestimmten Kriterien.
Eine partielle Abbildung ist eine rechtseindeutige Relation.
Eine (totale) Abbildung ist eine partielle Abbildung, die linkstotal ist.
Eine injektive partielle Abbildung ist eine partielle Abbildung, die linkseindeutig ist.
Eine surjektive partielle Abbildung ist eine partielle Abbildung, die rechtstotal ist.
Eine bijektive partielle Abbildung ist eine partielle Abbildung, die surjektiv und injektiv ist.
Diese Typen können natürlich auch wieder total sein, dann sind sie linkstotal.
Funktionen und Abbildungen werden zumeist synonym verwendet.

Zusatz:

Eine Relation (Teilmenge aus A x B) ist homogen, falls A = B (also eine Relation aus dem Kreuzprodukt der gleichen Menge).
So ist zum Beispiel A x A eine homogene Relation.
Über homogenen Relationen kann man noch die Eigenschaften "Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität, Reflexivität, Irreflexivität und Liniarität" untersuchen. Doch das sprengt hier den Rahmen.

Also, in der Informatik sind die Möglichkeiten schon deutlich mehr. Wer in der Mathematik forschen will, sollte damit rechnen, dass er viele schlaflose Nächte hat, die nicht besonders gut bezahlt werden.

Aber wie in allem im Leben gilt immer: es kommt darauf an. Was auf jeden Fall faktisch kaum anzugreifen ist, ist, dass WENN du diesen Weg einschlagen willst, kaum ein Weg an einem Studium vorbeiführt. Was auch in der Entscheidung helfen kann, ist: dass ein abgeschlossenes Mathematikstudium dir viele Türen auch in anderen Bereichen (insb. Informatik, aber auch Chemie, Physik, ...) öffnen kann, andersherum sieht es allerdings nicht immer so aus.

So oder so würde ich während dem Studium an Stellen an der entsprechenden Uni Ausschau halten.

Wenn...dann

Ist eine Implikation.

Wenn wir eine Implikation zeigen sollen, reicht es, den Fall zu betrachten, in dem die "Wenn" Aussage gilt (warum das so ist, kann man sich ja mal überlegen).

Mit anderen Worten:

Wenn du eine Aussage A-->B hast reicht es, A anzunehmen und B dann unter dieser Annahme zu zeigen.

Du kannst auch die Kontra Position zeigen.

A-->B ist äquivalent zu nichtB--->nichtA.

Das heißt, du kannst auch annehmen, dass nichtB gilt, und kannst dann nichtA zeigen.

Falls steht "links" und beschreibt eine Implikation

A, falls B heißt also

B-->A

<--> ist eine Biimplikation und muss in beide Richtungen funktionieren.

"Genau dann, wenn" oder "Genau dann, falls" sind dafür die "umgangssprachlichen" Begriffe .

Müsste es nicht = 550 sein, damit man ein Plus zu einer 4 erweitern kann mit einem Strich?

Sonst fällt mir da auch nichts ein.

10!-5!=10*9*8*7*6*5*4*3*2 - 5*4*3*2

= 10*9*8*7*6*(5!)-(5!)

= 30240 * 120 - 120

≠ 30240

Reicht das schon?

Du kannst nicht einfach Multiplikatoren aus einer Subtraktion (oder Addition allgemein) rausziehen.

Der erste Ausdruck wäre anders geschrieben:

10!/5!

Wir geben an, und beweisen nicht. Also ist es doch relativ einfach. Der Parameter c verschiebt den Graphen an der y-Achse hoch und runter. Auf dem Bild siehst du den Graphen für c= -1,5. Schau doch mal, was passiert, wenn du das c auf 0 setzt, oder auf 1.

Der Cosinussatz sagt:

Eine Seite a lässt sich wie folgt berechnen:

a := b² + c² + 2ab * cos(alpha)

Wobei alpha hier der Winkel ist, der a gegenüberliegt.

Wie du siehst, funktioniert das immer, wenn du zwei Seiten und ihren eingeschlossenen Winkel kennst.

Der Sinussatz sagt:

Alle Verhältnisse zwischen Seitenlängen und gegenüberliegenden Winkeln sind gleich groß.

Das an sich ist sicherlich nicht groß weiter interessant (für dich), aber wie man darauf gekommen, hilft dir weiter:

a/sinus(alpha) = b/sinus(beta) = c/sinus(gamma)

Wenn du die Seite a ausrechnen willst, kannst du umstellen:

a = (b/sinus(beta))*sinus(alpha) = (c/sinus(gamma))*sinus(alpha)

Hier reichen also 2 Winkel und eine gegenüberliegende Seite.

Das steht normalerweise in den Ordnungen der Unis festgeschrieben. Bei staatlichen Unis kannst du davon ausgehen, dass das nie ein Problem sein wird.

Studieren kann und darf man immer.

Wenn dein Ziel ist, noch flott was zu lernen, um auf der Karriereleiter aufzusteigen, ist dieses unter Umständen allerdings falsch gewählt.