Die Antworten, die konkret auf die Aufgabe eingehen, erzählen ja schon viel. Genau diese Aufgabe findest du ziemlich sicher im Netz (z.B. auf MathExchange).
Ich wollte nochmal ein paar Intuitionen zur strukturellen (oder in deinem Fall: vollständigen) Induktion geben, weil ich das Gefühl habe, dass es da oft hakt - was genau machen wir da eigentlich??
Indikationen werden immer über Mengen geführt. Das funktioniert nur dann, wenn diese Mengen auch induktiv definiert werden können. Durch eine induktive Definition legen wir ein (oder mehrere) Element(e) fest, von dem wir sagen: "Das ist in der Menge". Außerdem gibt es eine oder mehrere Regeln der Form: "Wenn x in dieser Menge drin ist, dann ist auch Regel(x) in der Menge".
Schon eigentlich ganz cool, dass wir mit so wenig Aufwand unendlich große Mengen definieren können.
Bei den natürlichen Zahlen sieht das zum Beispiel so aus:
I) die 0 ist in N
II) wenn x in N, dann ist auch (x+1) in N.
Und mit diesen beiden Regeln legen wir die komplette (!!) Menge der natürlichen Zahlen fest.
Wenn wir jetzt eine Induktion führen, passiert folgendes:
Wir haben eine Aussage, die wir beweisen wollen für alle natürlichen Zahlen. Also können wir doch einfach die Aussage fürs erste fixierte Element (bei N ist es die 0) zeigen und anschließend, weil wir wissen, dass wir für jedes Element das "nächste" mit einer Regel bekommen, es für die Regel dieses nächsten Elements zeigen (bei N ist es (x+1)).
Das funktioniert, weil wir wissen, dass für ein beliebiges aber festes Element x auch (x+1) in der Menge enthalten ist. Im Grunde ist das die Induktionsvorraussetzung. Wir setzen x beliebig, nehmen einfach mal an, dass die Aussage für dieses x gilt (falls es nicht gilt, interessiert es uns auch einfach nicht), und zeigen, dass die Aussage auch (im Grunde für ALLE) (x+1) gilt.
Der Satz in den Klammern (es interessieren uns keine x, für die die Aussage nicht gilt) ist super wichtig. Das bedeutet im Endeffekt, dass eine Induktion nichts wert ist, wenn du diese Induktionsvorraussetzung nicht benutzt.
Die Intuition ist da immer etwas schwer (zu Beginn), also wenn noch Fragen sind, kommentiere sie gerne!